Seja
dada por
. Existem soluções periódicas da EDO definida por essa função?
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
e pergunta se existem soluções periódicas. O conteúdo envolve o critério de Bendixson–Dulac para impossibilitar órbitas periódicas em planos.
Passo 2
Para usar Bendixson–Dulac, calculamos a divergência do campo
com
e
:
Observamos que
e é estritamente negativa sempre que
.
Passo 3
Considere a região
.
Essa região é simplesmente conexa e não contém equilíbrios (o único equilíbrio está em , na fronteira). Como em
temos
de forma contínua, o critério de Bendixson–Dulac afirma que não há órbitas fechadas inteiramente contidas em
.
Essa região é simplesmente conexa e não contém equilíbrios (o único equilíbrio está em
Passo 4
De modo análogo, na região
também e a região é simplesmente conexa sem equilíbrios. Logo, não há órbitas periódicas inteiramente contidas em
.
também
Passo 5
Qualquer órbita periódica teria de cruzar ambas as regiões
e
, mas não pode permanecer fechada em nenhuma delas. Portanto, não existem soluções periódicas para esse sistema.
Resposta
Não existem soluções periódicas.