Seja f: R^2 R^2 dada por f(x, y)=(y-x^3,-x^3). Existem soluções periódicas da EDO definida por essa função?

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
dot x = y - x^3, dot y = -x^3,
e pergunta se existem soluções periódicas. O conteúdo envolve o critério de Bendixson–Dulac para impossibilitar órbitas periódicas em planos.

Passo 2

Para usar Bendixson–Dulac, calculamos a divergência do campo f=(f1,f2) com f1=y-x^3 e f2=-x^3:
div f ;=;partial f1partial x + partial f2partial y ;=;-3x^2 ;+;0 ;=;-3x^2
Observamos que div f<=0 e é estritamente negativa sempre que xneq0.

Passo 3

Considere a região
Omega+=(x,y)mid x>0.
Essa região é simplesmente conexa e não contém equilíbrios (o único equilíbrio está em (0,0), na fronteira). Como em Omega+ temos div f<0 de forma contínua, o critério de Bendixson–Dulac afirma que não há órbitas fechadas inteiramente contidas em Omega+.

Passo 4

De modo análogo, na região
Omega-=(x,y)mid x<0
também div f<0 e a região é simplesmente conexa sem equilíbrios. Logo, não há órbitas periódicas inteiramente contidas em Omega-.

Passo 5

Qualquer órbita periódica teria de cruzar ambas as regiões Omega+ e Omega-, mas não pode permanecer fechada em nenhuma delas. Portanto, não existem soluções periódicas para esse sistema.

Resposta

Não existem soluções periódicas.

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