Exercício 1.5.1. Para cada uma das seguintes funções, analise-as quanto à continuidade e classifique os pontos de descontinuidade, caso existam:
l(x)=llx^3-27x-3, & se x neq 3 3, & se x=3.

Passo 1

O enunciado define a função
l(x)= dfracx^3-27x-3, & xneq 3,[6pt] 3, & x=3,
e pede para analisar a continuidade de l em todo o domínio e, se houver descontinuidade, classificá-la. Vamos usar a definição de limite e continuidade: um ponto a é ponto de descontinuidade removível se limxto al(x) existe finito, mas limxto al(x)neq l(a).]

Passo 2

Para xneq 3, fazemos a fatoração do numerador:
x^3-27 = (x-3)(x^2+3x+9),
logo, para xneq 3,
l(x) = (x-3)(x^2+3x+9)x-3 = x^2+3x+9
Como x^2+3x+9 é um polinômio, ele é contínuo em todo Rsetminus3. Portanto não há descontinuidade para xneq 3.

Passo 3

Calculemos o limite lateral em x=3:
limxto 3l(x) = limxto 3l(x^2+3x+9r) = 3^2+3cdot 3+9 = 9+9+9 =27

Passo 4

A função está definida em x=3 por l(3)=3, mas limxto3l(x)=27neq 3. Assim, há descontinuidade em x=3. Como o limite existe e é finito, porém difere do valor de l(3), trata-se de uma descontinuidade removível.

Resposta

A função l é contínua em Rsetminus3 e apresenta em x=3 uma descontinuidade removível, pois
limxto3l(x)=27e l(3)=3neq27

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