Exercício 1.5.1. Para cada uma das seguintes funções, analise-as quanto à continuidade e classifique os pontos de descontinuidade, caso existam: .
Passo 1
O enunciado define a função
l(x)= dfracx^3-27x-3, & xneq 3,[6pt] 3, & x=3,
e pede para analisar a continuidade de l em todo o domínio e, se houver descontinuidade, classificá-la. Vamos usar a definição de limite e continuidade: um ponto a é ponto de descontinuidade removível se limxto al(x) existe finito, mas limxto al(x)neq l(a).]
Passo 2
Para xneq 3, fazemos a fatoração do numerador:
x^3-27 = (x-3)(x^2+3x+9),
logo, para xneq 3,
l(x) = (x-3)(x^2+3x+9)x-3 = x^2+3x+9
Como x^2+3x+9 é um polinômio, ele é contínuo em todo Rsetminus3. Portanto não há descontinuidade para xneq 3.
A função está definida em x=3 por l(3)=3, mas limxto3l(x)=27neq 3. Assim, há descontinuidade em x=3. Como o limite existe e é finito, porém difere do valor de l(3), trata-se de uma descontinuidade removível.
Resposta
A função l é contínua em Rsetminus3 e apresenta em x=3 uma descontinuidade removível, pois