Seja varphi:] 0, infty[times U R^n-1 dado por varphi(r, theta1, ldots, thetan-1)=(r Omega1, ldots, r Omegan). Ache o Jacobiano de varphi em termos de r, Omegaj e das derivadas parciais de partial Omegaipartial thetaj (não precisa calcular partial Omegaipartial thetaj ). Mostre que |det(J varphi)|=r^n-1 raizdet(g), em que g in Mn-1 times n-1(R) é a matriz gi j=lang<=partial Omegapartial thetai, partial Omegapartial thetajrang<=. Dica: Use o item 1) e o fato de que
det(J varphi)^2=det(J varphi) det(J varphi)=det((J varphi)^T) det(J varphi)=det((J varphi)^T(J varphi))

Passo 1

O enunciado define
varphi: (0,infty)times UsubsetR^ntoR^n
por
varphi(r,theta1,dots,thetan-1) =l(r,Omega1(theta),dots,r,Omegan(theta)r),
onde Omega=(Omega1,dots,Omegan) é a aplicação que, para cada (theta1,dots,thetan-1)in U, produz um ponto da esfera unitária S^n-1.
Conteúdo: jacobiano de mudança para coordenadas esféricas em R^n. Precisaremos usar a factorização
det(Jvarphi)^2=detl((Jvarphi)^T(Jvarphi)r)
e as propriedades métricas da esfera.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de varphi. Para i=1,dots,n e j=1,dots,n-1:
partialvarphiipartial r =Omegai(theta), partialvarphiipartial thetaj =r;partialOmegaipartial thetaj(theta)
Portanto a matriz jacobiana Jvarphi tem colunas
partialvarphipartial r =Omega, partialvarphipartial thetaj =r,partial Omegapartial thetaj,
isto é, em forma de bloco:
Jvarphi =l[;Omega;|;r,partialtheta1Omega;|;cdots;|;r,partialthetan-1Omegar]

Passo 3

Para usar detl((Jvarphi)^T(Jvarphi)r), note que
lang<=Omega,Omegarang<==1 (pois Omegain S^n-1) e
lang<=Omega,partialthetajOmegarang<==0 (as derivadas são tangentes). Defina a matriz gin M(n-1)times(n-1) por
gij =llang<=partialthetaiOmega,partialthetajOmegarrang<=
Então
(Jvarphi)^T(Jvarphi) = lang<=Omega,Omegarang<= & lang<=Omega,r,partialOmegarang<= [6pt] lang<= r,partialOmega,Omegarang<= & lang<= r,partialOmega,;r,partialOmegarang<= = 1 & 0 [3pt] 0 & r^2,g
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detl((Jvarphi)^T(Jvarphi)r) =1cdotdet(r^2,g) =r^2(n-1)det(g) ]

Passo 4

Pela dica usamos
det(Jvarphi)^2 =detl((Jvarphi)^T(Jvarphi)r) =r^2(n-1)det(g)
Tomando a raiz positiva (orientação-padrão), obtemos
l|det(Jvarphi)r| =r^,n-1,raizdet(g)

Resposta

l|det(Jvarphi)r| = r^n-1,raizdet!l(gijr),
onde gij=llang<=partialthetaiOmega,partialthetajOmegarrang<=.

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