Seja dado por . Ache o Jacobiano de em termos de e das derivadas parciais de (não precisa calcular ). Mostre que , em que é a matriz . Dica: Use o item 1) e o fato de que
Passo 1
O enunciado define
por
onde é a aplicação que, para cada , produz um ponto da esfera unitária .
Conteúdo: jacobiano de mudança para coordenadas esféricas em . Precisaremos usar a factorização
e as propriedades métricas da esfera.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de . Para e :
Portanto a matriz jacobiana tem colunas
isto é, em forma de bloco:
Passo 3
Para usar detl((Jvarphi)^T(Jvarphi)r), note que lang<=Omega,Omegarang<==1 (pois Omegain S^n-1) e lang<=Omega,partialthetajOmegarang<==0 (as derivadas são tangentes). Defina a matriz gin M(n-1)times(n-1) por