Problema 96 Decomponha em frações parciais:
2 x^2+10 x-3(x+1)(x^2-9)

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função
2x^2+10x-3(x+1)l(x^2-9r)
O denominador fatora-se como (x+1)(x-3)(x+3), logo o conteúdo é frações parciais de função racional com raízes simples.

Passo 2

Como todos os fatores do denominador são lineares e distintos, assumimos a forma
2x^2+10x-3(x+1)(x-3)(x+3) = Ax+1+Bx-3+Cx+3
Multiplicamos ambos os lados por (x+1)(x-3)(x+3) para obter a identidade polinomial
2x^2+10x-3 = A,(x-3)(x+3)+B,(x+1)(x+3)+C,(x+1)(x-3)

Passo 3

Para achar A,B,C de forma rápida, avaliamos essa identidade em x=-1,3,-3:
  • Em x=-1: 2(-1)^2+10(-1)-3 = -11 = Acdot(-4)(2) = -8A
implies A = 118
  • Em x=3: 2cdot3^2+10cdot3-3 = 45 = Bcdot(4)(6) =24B
implies B = 4524 = 158
  • Em x=-3: 2cdot(-3)^2+10cdot(-3)-3 = -15 = Ccdot(-2)(-6)=12C
implies C = -1512 = -54

Passo 4

Substituindo A, B e C na forma de frações parciais, obtemos a decomposição completa.

Resposta

2x^2+10x-3(x+1)l(x^2-9r) = 118,(x+1) + 158,(x-3) - 54,(x+3)

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