Vamos denotar por
(theta1, ldots, thetan-1) os elementos de U subset R^n-1. Mostre que, para todo j in1, ldots, n, temos
Omega1 partial Omega1partial thetaj+ldots+Omegan partial Omeganpartial thetaj=0
Dica: Quanto vale Omega1^2+ldots+Omegan^2 ?

Passo 1

O enunciado define funções Omegai(theta1,dots,thetan-1) tais que, em todo U, vale a identidade de normalização ao quadrado da esfera:
Omega1^2+Omega2^2+cdots+Omegan^2 = 1
Queremos mostrar que, para cada jin1,dots,n,
Omega1,partialOmega1partialthetaj +cdots+ Omegan,partialOmeganpartialthetaj =0
O conteúdo teórico usado será a regra da cadeia para diferenciação de uma soma de quadrados.

Passo 2

Diferenciando a identidade
Omega1^2+cdots+Omegan^2 = 1
em relação a thetaj e aplicando a regra da cadeia, obtemos
partialpartialthetajl(Omega1^2+cdots+Omegan^2r) =2,Omega1,partialOmega1partialthetaj +cdots+2,Omegan,partialOmeganpartialthetaj =0,
pois o lado direito é constante. Dividindo por 2 chega-se à identidade desejada:
Omega1,partialOmega1partialthetaj +cdots+ Omegan,partialOmeganpartialthetaj =0

Resposta

Omega1,partialOmega1partialthetaj +cdots+ Omegan,partialOmeganpartialthetaj =0

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