Exercício 2.3 Para cada uma das seguintes funções, determine o domínio e a imagem da função dada.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que é pedido:
- Determinar o domínio de
(ou seja, todos os valores de para os quais está bem definida). - Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
, também chamado de contradomínio efetivo ou range).
Informações relevantes já disponíveis no enunciado:
- A função é uma razão em que o denominador é
. - Deve-se ter atenção a pontos em que o denominador se anula, pois divisão por zero não é permitida.
Passo 2
Conceito e procedimento para encontrar o domínio (explicação didática).
- Domínio de uma função racional como
é o conjunto de todos os reais para os quais o denominador não é zero. - Então impõe-se a condição
- Resolver essa desigualdade é simples: subtrai-se
dos dois lados e obtém-se
Isto significa que qualquer número real serve como entrada, exceto
, porque em
teríamos divisão por zero.
Passo 3
Forma de escrever o domínio e interpretação (como apresentar na prova).
- Em notação de conjunto: o domínio é o conjunto de todos os reais exceto
. - Em notação intervalar isso fica
Dica prática para a prova: sempre olhar o denominador de funções racionais e excluir suas raízes do conjunto dos reais.
Passo 4
Conceito e procedimento para encontrar a imagem (explicação didática).
- A imagem (range) é o conjunto dos valores
que podem ser obtidos como para algum do domínio. - Começa-se escrevendo a relação
e tenta-se resolver para em termos de ; isso mostra quais admitem uma solução em . - Partindo de
multiplica-se ambos os lados por
(lembrando que
):
- Se
, o membro esquerdo é e nunca pode ser igual a . Portanto não é possível — não existe tal que . - Se
, pode-se dividir por e obter
- Verificação importante: para
o valor não é igual a (pois isso exigiria , impossível). Logo esse está dentro do domínio e portanto cada é realmente atingido por algum .
Passo 5
Conclusão sobre a imagem com interpretação gráfica e limites (ajuda para entender por que
está excluído e nenhum outro valor está excluído).
- A equação anterior mostra que todo
tem um correspondente no domínio, portanto todos esses pertencem à imagem. - O valor
não é atingido por nenhum , então está fora da imagem. - Intuição usando assíntotas: a função tem assimptota vertical em
(porque o denominador zera aí) e assimptota horizontal em (porque ). Essas assimptotas confirmam que os valores de podem ficar arbitrariamente grandes em magnitude (positivo e negativo) e também se aproximam de sem nunca atingir .
Passo 6
Exemplos numéricos rápidos para fixar a ideia.
- Tomando
(que está no domínio), obtém-se , um valor positivo pequeno. - Tomando
, obtém-se . - Tomando
, obtém-se . - Aproximando
de pela direita, cresce para ; aproximando pela esquerda, vai para . Aproximando , (mas nunca chega a ).
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: