Exercício 2.3 Para cada uma das seguintes funções, determine o domínio e a imagem da função dada.
(d) f(x)=\frac{1}{x+2}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\frac{1}{x+2}.
O que é pedido:
  • Determinar o domínio de f (ou seja, todos os valores de x para os quais f(x) está bem definida).
  • Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de f(x), também chamado de contradomínio efetivo ou range).
Informações relevantes já disponíveis no enunciado:
  • A função é uma razão em que o denominador é x+2.
  • Deve-se ter atenção a pontos em que o denominador se anula, pois divisão por zero não é permitida.

Passo 2

Conceito e procedimento para encontrar o domínio (explicação didática).
  • Domínio de uma função racional como f(x)=\dfrac{1}{x+2} é o conjunto de todos os x reais para os quais o denominador não é zero.
  • Então impõe-se a condição
x+2\neq 0.
  • Resolver essa desigualdade é simples: subtrai-se 2 dos dois lados e obtém-se
x\neq -2.
Isto significa que qualquer número real serve como entrada, exceto -2, porque em x=-2 teríamos divisão por zero.

Passo 3

Forma de escrever o domínio e interpretação (como apresentar na prova).
  • Em notação de conjunto: o domínio é o conjunto de todos os reais exceto -2.
  • Em notação intervalar isso fica
(-\infty,-2)\cup(-2,\infty).
Dica prática para a prova: sempre olhar o denominador de funções racionais e excluir suas raízes do conjunto dos reais.

Passo 4

Conceito e procedimento para encontrar a imagem (explicação didática).
  • A imagem (range) é o conjunto dos valores y que podem ser obtidos como y=f(x) para algum x do domínio.
  • Começa-se escrevendo a relação y=\dfrac{1}{x+2} e tenta-se resolver para x em termos de y; isso mostra quais y admitem uma solução em x.
  • Partindo de
y=\frac{1}{x+2},
multiplica-se ambos os lados por x+2 (lembrando que x+2\neq0):
y(x+2)=1.
  • Se y=0, o membro esquerdo é 0 e nunca pode ser igual a 1. Portanto y=0 não é possível — não existe x tal que \dfrac{1}{x+2}=0.
  • Se y\neq 0, pode-se dividir por y e obter
x+2=\frac{1}{y}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{y}-2.
  • Verificação importante: para y\neq 0 o valor x=\dfrac{1}{y}-2 não é igual a -2 (pois isso exigiria \dfrac{1}{y}=0, impossível). Logo esse x está dentro do domínio e portanto cada y\neq 0 é realmente atingido por algum x.

Passo 5

Conclusão sobre a imagem com interpretação gráfica e limites (ajuda para entender por que 0 está excluído e nenhum outro valor está excluído).
  • A equação anterior mostra que todo y\neq 0 tem um correspondente x no domínio, portanto todos esses y pertencem à imagem.
  • O valor y=0 não é atingido por nenhum x, então 0 está fora da imagem.
  • Intuição usando assíntotas: a função tem assimptota vertical em x=-2 (porque o denominador zera aí) e assimptota horizontal em y=0 (porque \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x+2}=0). Essas assimptotas confirmam que os valores de f(x) podem ficar arbitrariamente grandes em magnitude (positivo e negativo) e também se aproximam de 0 sem nunca atingir 0.

Passo 6

Exemplos numéricos rápidos para fixar a ideia.
  • Tomando x=0 (que está no domínio), obtém-se f(0)=\dfrac{1}{2}, um valor positivo pequeno.
  • Tomando x=-1, obtém-se f(-1)=\dfrac{1}{1}=1.
  • Tomando x=-3, obtém-se f(-3)=\dfrac{1}{-1}=-1.
  • Aproximando x de -2 pela direita, f(x) cresce para +\infty; aproximando pela esquerda, f(x) vai para -\infty. Aproximando x\to\pm\infty, f(x)\to 0 (mas nunca chega a 0).

Resposta

Domínio: (-\infty,-2)\cup(-2,\infty)
Imagem: (-\infty,0)\cup(0,\infty)

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