Exercício 2.3 Para cada uma das seguintes funções, determine o domínio e a imagem da função dada.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede duas coisas: (a) o domínio de
— isto é, o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão de
faz sentido; (b) a imagem (ou conjunto-valor) de
— isto é, o conjunto de todos os valores possíveis de
quando
varia pelo domínio.
Passo 2
Vamos lembrar, de forma bem direta e sem formalismo pesado, o que impede um número
de estar no domínio de uma função: operações proibidas são divisão por zero e extração de raiz de índice par de número negativo (quando se trabalha em
). Aqui a expressão de
envolve apenas multiplicação e subtração: multiplicar
por
e somar
. Essas operações estão sempre definidas para todo
. Portanto, não há restrições sobre
.
Concluímos que o domínio é todo o conjunto dos números reais. Em notação:
Concluímos que o domínio é todo o conjunto dos números reais. Em notação:
Explicação curta: para qualquer
a expressão
é um número real bem definido.
Passo 3
Agora vamos determinar a imagem. Uma maneira direta e didática é mostrar que, dado qualquer número real
, existe um
tal que
. Isso prova que toda
é atingida por
, logo a imagem é
.
Começamos escrevendo a equação
e resolvendo para
. Isolando
obtemos
O valor
é um número real para qualquer
. Assim, para qualquer
há um
real que produz esse
como saída de
. Logo, todos os reais pertencem à imagem.
Uma interpretação alternativa (mais intuítiva):
é uma função afim/linear do tipo
com
. Funções afins com coeficiente angular diferente de zero são bijetoras de
em
: elas são estritamente monotônicas e percorrem todos os valores reais quando
percorre
. Por isso a imagem é
.
Também se pode ver pelos limites:
e
; com continuidade, isso garante que todos os valores entre
e
são atingidos — ou seja, todos os reais.
Resumo prático e exemplos rápidos para fixar:
,
,
. Vê-se que a função atinge valores positivos, zero e valores arbitrariamente negativos; variando
para negativos atinge valores arbitrariamente grandes positivos. Isso reforça que a imagem é todo
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: