Exercício 2.3 Para cada uma das seguintes funções, determine o domínio e a imagem da função dada.
(a) f(x)=6-2 x

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=6-2x
e pede duas coisas: (a) o domínio de f — isto é, o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão de f(x) faz sentido; (b) a imagem (ou conjunto-valor) de f — isto é, o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) quando x varia pelo domínio.

Passo 2

Vamos lembrar, de forma bem direta e sem formalismo pesado, o que impede um número x de estar no domínio de uma função: operações proibidas são divisão por zero e extração de raiz de índice par de número negativo (quando se trabalha em \mathbb{R}). Aqui a expressão de f(x) envolve apenas multiplicação e subtração: multiplicar x por -2 e somar 6. Essas operações estão sempre definidas para todo x\in\mathbb{R}. Portanto, não há restrições sobre x.
Concluímos que o domínio é todo o conjunto dos números reais. Em notação:
\text{Domínio}(f)=\mathbb{R}.í
Explicação curta: para qualquer x\in\mathbb{R} a expressão 6-2x é um número real bem definido.

Passo 3

Agora vamos determinar a imagem. Uma maneira direta e didática é mostrar que, dado qualquer número real y, existe um x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y. Isso prova que toda y\in\mathbb{R} é atingida por f, logo a imagem é \mathbb{R}.
Começamos escrevendo a equação
y=6-2x
e resolvendo para x. Isolando x obtemos
-2x = y-6 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{6-y}{2}.
O valor \dfrac{6-y}{2} é um número real para qualquer y\in\mathbb{R}. Assim, para qualquer y há um x real que produz esse y como saída de f. Logo, todos os reais pertencem à imagem.
Uma interpretação alternativa (mais intuítiva): f é uma função afim/linear do tipo f(x)=ax+b com a=-2\neq 0. Funções afins com coeficiente angular diferente de zero são bijetoras de \mathbb{R} em \mathbb{R}: elas são estritamente monotônicas e percorrem todos os valores reais quando x percorre \mathbb{R}. Por isso a imagem é \mathbb{R}.
Também se pode ver pelos limites: \lim_{x\to +\infty} (6-2x)=-\infty e \lim_{x\to -\infty} (6-2x)=+\infty; com continuidade, isso garante que todos os valores entre -\infty e +\infty são atingidos — ou seja, todos os reais.
Resumo prático e exemplos rápidos para fixar: f(0)=6, f(3)=0, f(100)=-194. Vê-se que a função atinge valores positivos, zero e valores arbitrariamente negativos; variando x para negativos atinge valores arbitrariamente grandes positivos. Isso reforça que a imagem é todo \mathbb{R}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \mathbb{R}

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