Exercício 2.3 Para cada uma das seguintes funções, determine o domínio e a imagem da função dada.
(c) h(x)=\sqrt{4-x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • É dada a função h definida por h(x)=\sqrt{4-x}.
  • O enunciado pede que eu determine o domínio e a imagem (alcance) da função h.
  • Informação relevante dada: a função envolve uma raiz quadrada \sqrt{\cdot}.

Passo 2

O que significa domínio e imagem (explicação didática curta e necessária):
  • Domínio: é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido como número real.
  • Imagem (ou conjunto imagem): é o conjunto de todos os valores que a função realmente produz (valores de h(x)) quando x varia no domínio.
    Observação sobre a raiz quadrada: por convenção, \sqrt{t} (a raiz quadrada principal) está definida como número real somente quando t\ge 0, e retorna sempre um número não negativo.

Passo 3

Condição para o domínio (aplicando a regra da raiz):
A expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
4-x \ge 0.
Vou resolver essa desigualdade passo a passo. Subtraindo 4 dos dois lados e multiplicando por -1 (o que inverte o sinal da desigualdade) é mais claro reescrever como
-x \ge -4.
Multiplicando ambos os lados por -1 e invertendo a desigualdade:
x \le 4.
Portanto, todo x menor ou igual a 4 é permitido.

Passo 4

Escrever o domínio em notação habitual e comentar:
O domínio é o intervalo de todos os reais até 4, inclusive:
\text{Dom}(h)=(-\infty,\,4].
Comentário rápido: qualquer x menor que 4 faz 4-x>0 e a raiz é um número real positivo; em x=4 a raiz vale 0.

Passo 5

Determinar a imagem (análise dos valores que h(x) assume):
Defina y=h(x)=\sqrt{4-x}. Pela propriedade da raiz quadrada, temos sempre
y\ge 0.
Agora verificar extremos e se todos os valores não negativos são atingidos.
  • Quando x=4 (que está no domínio), y=\sqrt{4-4}=\sqrt{0}=0. Então 0 pertence à imagem.
  • Quando x\to -\infty, 4-x\to +\infty e logo \sqrt{4-x}\to +\infty. Portanto, h(x) não tem limite superior finito — a imagem é ilimitada para cima.
  • Para mostrar que todo y\ge 0 é realmente atingido, podemos inverter a relação: dado um valor y\ge 0, tomar
x = 4 - y^{2}.
Esse x satisfaz x\le 4 (pois y^{2}\ge 0), logo está no domínio, e dá
h(x)=\sqrt{4-(4-y^{2})}=\sqrt{y^{2}}=y,
já que y\ge 0 (a raiz principal retorna y). Assim, cada y\ge 0 é imagem de algum x do domínio.

Passo 6

Concluir sobre a imagem e fazer um resumo didático rápido:
Juntando as observações, a imagem é o conjunto de todos os números reais não negativos, sem limite superior:
\text{Im}(h)=[0,\infty).
Resumo intuitivo: a raiz quadrada sempre dá resultados \ge 0; em x=4 obtém-se o mínimo 0; ao reduzir x para valores muito negativos, a raiz cresce sem limite, cobrindo todos os números não negativos.

Resposta

\text{Dom}(h)=(-\infty,\,4]
\text{Im}(h)=[0,\infty)

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