Exercício 2.3 Para cada uma das seguintes funções, determine o domínio e a imagem da função dada.
(c)
(c)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- É dada a função
definida por . - O enunciado pede que eu determine o domínio e a imagem (alcance) da função
. - Informação relevante dada: a função envolve uma raiz quadrada
.
Passo 2
O que significa domínio e imagem (explicação didática curta e necessária):
- Domínio: é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão que define a função faz sentido como número real. - Imagem (ou conjunto imagem): é o conjunto de todos os valores que a função realmente produz (valores de
) quando varia no domínio.
Observação sobre a raiz quadrada: por convenção,(a raiz quadrada principal) está definida como número real somente quando , e retorna sempre um número não negativo.
Passo 3
Condição para o domínio (aplicando a regra da raiz):
A expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
A expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
Vou resolver essa desigualdade passo a passo. Subtraindo
dos dois lados e multiplicando por
(o que inverte o sinal da desigualdade) é mais claro reescrever como
Multiplicando ambos os lados por
e invertendo a desigualdade:
Portanto, todo
menor ou igual a
é permitido.
Passo 4
Escrever o domínio em notação habitual e comentar:
O domínio é o intervalo de todos os reais até , inclusive:
O domínio é o intervalo de todos os reais até
Comentário rápido: qualquer
menor que
faz
e a raiz é um número real positivo; em
a raiz vale
.
Passo 5
Determinar a imagem (análise dos valores que
assume):
Defina . Pela propriedade da raiz quadrada, temos sempre
Defina
Agora verificar extremos e se todos os valores não negativos são atingidos.
- Quando
(que está no domínio), . Então pertence à imagem. - Quando
, e logo . Portanto, não tem limite superior finito — a imagem é ilimitada para cima. - Para mostrar que todo
é realmente atingido, podemos inverter a relação: dado um valor , tomar
Esse
satisfaz
(pois
), logo está no domínio, e dá
já que
(a raiz principal retorna
). Assim, cada
é imagem de algum
do domínio.
Passo 6
Concluir sobre a imagem e fazer um resumo didático rápido:
Juntando as observações, a imagem é o conjunto de todos os números reais não negativos, sem limite superior:
Juntando as observações, a imagem é o conjunto de todos os números reais não negativos, sem limite superior:
Resumo intuitivo: a raiz quadrada sempre dá resultados
; em
obtém-se o mínimo
; ao reduzir
para valores muito negativos, a raiz cresce sem limite, cobrindo todos os números não negativos.