Exercício 1. Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
x=5+2 \cos \pi t, y=3+2 \sin \pi t, 1 t 2

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=5+2\cos(\pi t),\quad y=3+2\sin(\pi t),\quad 1\le t\le2
e pede duas coisas: (a) esboçar a curva e (b) encontrar sua equação cartesiana. O conteúdo aqui é curvas paramétricas no plano e como eliminarmos o parâmetro.

Passo 2

Para eliminar o parâmetro usemos a identidade trigonométrica \cos^2\theta+\sin^2\theta=1. Defina \theta=\pi t. Então
\cos\theta = \frac{x-5}{2},\quad \sin\theta=\frac{y-3}{2}.
Aplicando a identidade obtemos
\Bigl(\frac{x-5}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{y-3}{2}\Bigr)^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad (x-5)^2 + (y-3)^2 = 4.

Passo 3

Agora veja o intervalo de \theta: quando t=1 temos \theta=\pi e quando t=2 temos \theta=2\pi. Esses valores descrevem justamente a semicircunferência inferior do círculo de raio 2 e centro (5,3).
  • Em t=1 \theta=\pi o ponto é (5+2\cos\pi,\;3+2\sin\pi)=(3,3) (o ponto mais à esquerda).
  • Quando \theta cresce até 2\pi, o ponto percorre pelo lado de baixo do círculo, passando por (5,1) em \theta=3\pi/2, até (7,3) em \theta=2\pi (o ponto mais à direita).
    O sentido de varredura é horário.

Passo 4

Para esboçar, desenhe o círculo de centro em (5,3) e raio 2, mas trace apenas a parte inferior (onde y\le3). Marque os pontos (3,3), (5,1) e (7,3) e ligue-os suavemente.

Resposta

A equação cartesiana é
(x-5)^2+(y-3)^2 = 4,
com y\le3 (semicírculo inferior), percorrido no sentido horário quando t vai de 1 a 2.

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