Exercício 1. Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
x=5+2 \cos \pi t, y=3+2 \sin \pi t, 1 t 2
x=5+2 \cos \pi t, y=3+2 \sin \pi t, 1 t 2
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede duas coisas: (a) esboçar a curva e (b) encontrar sua equação cartesiana. O conteúdo aqui é curvas paramétricas no plano e como eliminarmos o parâmetro.
Passo 2
Para eliminar o parâmetro usemos a identidade trigonométrica
. Defina
. Então
Aplicando a identidade obtemos
Passo 3
Agora veja o intervalo de
: quando
temos
e quando
temos
. Esses valores descrevem justamente a semicircunferência inferior do círculo de raio
e centro
.
- Em
o ponto é (o ponto mais à esquerda). - Quando
cresce até , o ponto percorre pelo lado de baixo do círculo, passando por em , até em (o ponto mais à direita).
O sentido de varredura é horário.
Passo 4
Para esboçar, desenhe o círculo de centro em
e raio
, mas trace apenas a parte inferior (onde
). Marque os pontos
,
e
e ligue-os suavemente.
Resposta
A equação cartesiana é
com
(semicírculo inferior), percorrido no sentido horário quando
vai de
a
.