Exercício 1. Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
x=2+\sin t, y=1+3 \cos t, \pi / 2 t 2 \pi

Passo 1

O enunciado dá as parametrizações
x = 2 + \sin t,\quad y = 1 + 3\cos t,
com t variando em \pi/2 \le t \le 2\pi.
O objetivo é esboçar a curva e obter sua equação cartesiana. Vamos usar a identidade trigonométrica \sin^2 t + \cos^2 t = 1, eliminando o parâmetro t.

Passo 2

Isolamos \sin t e \cos t em função de x e y:
\sin t = x - 2,
\cos t = \frac{y - 1}{3}.
Como \sin^2 t + \cos^2 t = 1, substituímos:
(x - 2)^2 + \Bigl(\frac{y - 1}{3}\Bigr)^2 = 1.

Passo 3

Reescrevemos a equação no formato padrão de elipse:
\frac{(x-2)^2}{1^2} + \frac{(y-1)^2}{3^2} = 1.
Essa é a equação cartesiana da curva.

Passo 4

Reconhecemos que se trata de uma elipse centrada em (2,1), com semi-eixo maior b=3 na direção vertical e semi-eixo menor a=1 na direção horizontal.

Passo 5

Para esboçar, avaliamos os pontos principais:
t=\frac{\pi}{2}: (x,y)=(2+1,\;1+3\cdot0)=(3,1),
t=\pi: (x,y)=(2+0,\;1+3\cdot(-1))=(2,-2),
t=\tfrac{3\pi}{2}: (x,y)=(2-1,\;1+3\cdot0)=(1,1),
t=2\pi: (x,y)=(2+0,\;1+3\cdot1)=(2,4).
Traçando esses pontos e ligando-os suavemente, obtemos o arco elíptico correspondente.

Passo 6

Quanto à orientação, conforme t vai de \pi/2 a 2\pi, o ponto percorre a elipse no sentido horário, partindo de (3,1) indo para (2,-2), depois (1,1) e chegando em (2,4).

Resposta

A curva é o arco da elipse
\frac{(x-2)^2}{1^2} + \frac{(y-1)^2}{3^2} = 1,
centro em (2,1), semi-eixos 1 (horizontal) e 3 (vertical), percorrido no sentido horário para \pi/2 \le t \le 2\pi.

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