Exercício 1. Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
x=2+\sin t, y=1+3 \cos t, \pi / 2 t 2 \pi
x=2+\sin t, y=1+3 \cos t, \pi / 2 t 2 \pi
Passo 1
O enunciado dá as parametrizações
com
variando em
.
O objetivo é esboçar a curva e obter sua equação cartesiana. Vamos usar a identidade trigonométrica , eliminando o parâmetro
.
O objetivo é esboçar a curva e obter sua equação cartesiana. Vamos usar a identidade trigonométrica
Passo 2
Isolamos
e
em função de
e
:
Como
, substituímos:
Passo 3
Reescrevemos a equação no formato padrão de elipse:
Essa é a equação cartesiana da curva.
Passo 4
Reconhecemos que se trata de uma elipse centrada em
, com semi-eixo maior
na direção vertical e semi-eixo menor
na direção horizontal.
Passo 5
Para esboçar, avaliamos os pontos principais:
Traçando esses pontos e ligando-os suavemente, obtemos o arco elíptico correspondente.
Passo 6
Quanto à orientação, conforme
vai de
a
, o ponto percorre a elipse no sentido horário, partindo de
indo para
, depois
e chegando em
.
Resposta
A curva é o arco da elipse
centro em
, semi-eixos
(horizontal) e
(vertical), percorrido no sentido horário para
.