Determine o ponto no qual a curva parametrizda eintercepta ela própria, bem como os valores de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
e pede o ponto de auto-interseção, ou seja, valores
tais que
Para resolver, vamos igualar coordenadas em
e em
.
Passo 2
Igualando as abscissas:
implica
ou seja, ou
(caso trivial) ou
.
Passo 3
Para ter auto-interseção genuína precisamos
com
. Agora igualamos as ordenadas:
Exigindo
dá
Logo
ou
.
Passo 4
Descartando
(que daria
), ficamos com
e
. Os pares são
Em qualquer caso, o ponto coincidente vale
Resposta
O ponto de auto-interseção é
e ocorre para
e
.