Determine o ponto no qual a curva parametrizda eintercepta ela própria, bem como os valores de t.
x=1-t^{2}, \quad y=t-t^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x(t)=1 - t^{2},\qquad y(t)=t - t^{3}
e pede o ponto de auto-interseção, ou seja, valores t_{1}\neq t_{2} tais que
(x(t_{1}),y(t_{1}))=(x(t_{2}),y(t_{2})).
Para resolver, vamos igualar coordenadas em x e em y.

Passo 2

Igualando as abscissas:
1 - t_{1}^{2} = 1 - t_{2}^{2}
implica
t_{1}^{2}=t_{2}^{2}
ou seja, ou t_{1}=t_{2} (caso trivial) ou t_{1}=-t_{2}.

Passo 3

Para ter auto-interseção genuína precisamos t_{1}=-t_{2} com t_{1}\neq t_{2}. Agora igualamos as ordenadas:
y(-t_{2}) = -t_{2} - (-t_{2})^{3} = -t_{2} + t_{2}^{3},
y(t_{2}) = t_{2} - t_{2}^{3}.
Exigindo y(-t_{2})=y(t_{2})
-\,t_{2}+t_{2}^{3} = t_{2}-t_{2}^{3} \quad\Longleftrightarrow\quad 2t_{2} -2t_{2}^{3}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2t_{2}(1 - t_{2}^{2})=0.
Logo t_{2}=0 ou t_{2}^{2}=1.

Passo 4

Descartando t_{2}=0 (que daria t_{1}=t_{2}), ficamos com t_{2}=\pm1 e t_{1}=-t_{2}. Os pares são
(t_{1},t_{2})=(1,-1)\quad\text{ou}\quad(-1,1).
Em qualquer caso, o ponto coincidente vale
x=1 - (1)^{2}=0,\qquad y=1 - (1)^{3}=0.

Resposta

O ponto de auto-interseção é (0,0) e ocorre para t=1 e t=-1.

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