Exercício 1. Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
x=t^{2}-3, y=t+2, -3 t 3

Passo 1

O enunciado fornece as equações paramétricas
x = t^{2} - 3
e
y = t + 2
para t\in[-3,3]. O objetivo é esboçar a curva e determinar sua equação cartesiana, isto é, eliminar o parâmetro t e reconhecer o tipo de curva resultante.

Passo 2

Da segunda equação isole t:
y = t + 2 implica
t = y - 2.

Passo 3

Substitua t = y - 2 em x = t^{2} - 3:
x = (y - 2)^{2} - 3.
Essa é a equação cartesiana da curva.

Passo 4

Reconheça que
x + 3 = (y - 2)^{2}
é uma parábola com vértice em (-3,2) e eixo paralelo ao eixo x, abrindo para a direita.

Passo 5

Para esboçar, calcule os pontos extremos quando t=-3 e t=3:
  • Se t=-3, então y=-1 e x=(-3)^{2}-3=6, ponto (6,-1).
  • Se t=3, então y=5 e x=9-3=6, ponto (6,5).
    A curva é o segmento dessa parábola entre (6,-1) e (6,5), simétrico em torno de y=2.

Resposta

x = (y - 2)^{2} - 3, \quad -1 \le y \le 5.

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