Exercício 1. Em cada um dos sistemas abaixo, escreva sua forma matricial.
\left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=-3 x+4 y-9 z \\\ \frac{d y}{d t}=6 x-y \\\ \frac{d z}{d t}=10 x+4 y+3 z\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações diferenciais:
\begin{cases} \frac{d x}{d t}=-3\,x+4\,y-9\,z,\\\ \frac{d y}{d t}=6\,x-y,\\\ \frac{d z}{d t}=10\,x+4\,y+3\,z. \end{cases}
O conteúdo é representação matricial de sistemas lineares, e vamos precisar agrupar as incógnitas num vetor de estado e coletar os coeficientes numa matriz.

Passo 2

Definimos o vetor de estado
X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\z(t)\end{pmatrix},
de modo que o vetor de derivadas seja
\frac{dX}{dt}=\begin{pmatrix}\dfrac{dx}{dt}\\[0.5em]\dfrac{dy}{dt}\\[0.5em]\dfrac{dz}{dt}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora basta montar a matriz de coeficientes A lendo linha a linha os coeficientes de x, y e z em cada equação:
  • Na primeira equação os coeficientes são -3, 4 e -9.
  • Na segunda são 6, -1 e 0 (não aparece z).
  • Na terceira são 10, 4 e 3.
    Isso nos dá
A=\begin{pmatrix} -3 & 4 & -9\\\\ 6 & -1 & 0\\\\ 10 & 4 & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -9\\\\ 6 & -1 & 0\\\\ 10 & 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.

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