Exercício 1. Em cada um dos sistemas abaixo, escreva sua forma matricial.
\left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=x-y+z+t-1 \\\ \frac{d y}{d t}=2 x+y-z-3 t^{2} \\\ \frac{d z}{d t}=x+y+z+t^{2}-t+2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações diferenciais lineares não homogêneas em x(t)\), \(y(t)\) e \(z(t)\): \[\begin{cases} \displaystyle \frac{dx}{dt}=x - y + z + t - 1,\\[6pt] \displaystyle \frac{dy}{dt}=2x + y - z - 3t^{2},\\[6pt] \displaystyle \frac{dz}{dt}=x + y + z + t^{2} - t + 2. \end{cases}
O objetivo é escrever esse sistema na forma matricial
\dot{\mathbf{x}}(t)=A\,\mathbf{x}(t)+\mathbf{g}(t),
onde \mathbf{x}(t)\] é o vetor de estado, \(A a matriz de coeficientes e \mathbf{g}(t) o termo não homogêneo.]

Passo 2

Definimos o vetor de incógnitas como\r
\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\z(t)\end{pmatrix}.\r
Então \dot{\mathbf{x}}(t)=\bigl(dx/dt,\;dy/dt,\;dz/dt\bigr)^{T}.

Passo 3

Extraímos a matriz de coeficientes A pegando apenas os coeficientes de x, y e z em cada equação. Assim:\r
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\r
pois, por exemplo, em dx/dt os coeficientes de x,y,z são 1,-1,1, etc.

Passo 4

O vetor de termos não homogêneos \mathbf{g}(t) vem dos termos que dependem apenas de t (e constantes). Logo,\r
\mathbf{g}(t)=\begin{pmatrix} t - 1\\\\ -3\,t^{2}\\\ t^{2} - t + 2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Juntando tudo, o sistema na forma matricial é\r
\dot{\mathbf{x}}(t) = A\,\mathbf{x}(t) + \mathbf{g}(t),\r
com A e \mathbf{g}(t) definidos acima.

Resposta

\dot{\mathbf{x}}(t) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x(t)\y(t)\z(t)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t - 1\\\\ -3\,t^{2}\\\ t^{2} - t + 2 \end{pmatrix}.

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