Exercício 1. Em cada um dos sistemas abaixo, escreva sua forma matricial.
\left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=4 x-7 y \\\ \frac{d y}{d t}=5 x\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem em x(t)\) e \(y(t)\): \[\begin{cases} \displaystyle \frac{d x}{d t} = 4x - 7y,\\[0.5em] \displaystyle \frac{d y}{d t} = 5x. \end{cases}
O conteúdo aqui é escrever esse sistema na forma matricial (\dot{\mathbf{X}} = A,\mathbf{X}].]

Passo 2

Definimos o vetor de estado
\mathbf{X}(t) = \begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix}.
Como cada derivada é combinação linear de x e y, a matriz de coeficientes A deve conter esses coeficientes nas linhas correspondentes:
A = \begin{pmatrix} 4 & -7\\\\ 5 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Portanto, o sistema pode ser escrito de forma compacta como
\frac{d}{d t}\mathbf{X}(t) = A\,\mathbf{X}(t).

Resposta

\frac{d}{d t}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -7\\\\ 5 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.

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