Exercício 3. Nos itens abaixo, verifique que X é solução do sistema associado.
X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ -1 & 0\end{array}\right) X ; \quad X=\binom{1}{3} e^{t}+\binom{4}{-4} t e^{t}

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear de equações diferenciais
\dot{X} = A\,X,
onde
A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix}
e propõe a função
X(t) = \begin{pmatrix}1 \\\\ 3\end{pmatrix}e^t + \begin{pmatrix}4 \\\\ -4\end{pmatrix}t e^t.
O objetivo é mostrar que, ao calcular \dot{X}(t) e A\,X(t), obtemos a mesma expressão, ou seja, \dot{X}(t)=A\,X(t).

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada de cada termo de X(t).
Pelo produto,
\frac{d}{dt}\Bigl(\begin{pmatrix}1 \\\\ 3\end{pmatrix}e^t\Bigr) = \begin{pmatrix}1 \\\\ 3\end{pmatrix}e^t,
\frac{d}{dt}\Bigl(\begin{pmatrix}4 \\\\ -4\end{pmatrix}t e^t\Bigr) = \begin{pmatrix}4 \\\\ -4\end{pmatrix}\bigl(e^t + t e^t\bigr) = \begin{pmatrix}4 \\\\ -4\end{pmatrix}e^t + \begin{pmatrix}4 \\\\ -4\end{pmatrix}t e^t.
Somando, obtemos
\dot{X}(t) = \begin{pmatrix}1 \\\\ 3\end{pmatrix}e^t + \begin{pmatrix}4 \\\\ -4\end{pmatrix}e^t + \begin{pmatrix}4 \\\\ -4\end{pmatrix}t e^t = \begin{pmatrix}5 \\\\ -1\end{pmatrix}e^t + \begin{pmatrix}4 \\\\ -4\end{pmatrix}t e^t.

Passo 3

Agora calculamos A\,X(t).
Primeiro,
A\begin{pmatrix}1 \\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot1 + 1\cdot3 \\\\ -1\cdot1 + 0\cdot3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\\\ -1\end{pmatrix},
A\begin{pmatrix}4 \\\\ -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot4 + 1\cdot(-4) \\\\ -1\cdot4 + 0\cdot(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\\\ -4\end{pmatrix}.
Logo,
A\,X(t) = A\Bigl(\begin{pmatrix}1 \\\\ 3\end{pmatrix}e^t + \begin{pmatrix}4 \\\\ -4\end{pmatrix}t e^t\Bigr) = \begin{pmatrix}5 \\\\ -1\end{pmatrix}e^t + \begin{pmatrix}4 \\\\ -4\end{pmatrix}t e^t.

Passo 4

Comparando, vemos que
\dot{X}(t) = \begin{pmatrix}5 \\\\ -1\end{pmatrix}e^t + \begin{pmatrix}4 \\\\ -4\end{pmatrix}t e^t = A\,X(t).
Portanto, a função X(t) satisfaz \dot{X}=A\,X.

Resposta

A função
X(t) = \begin{pmatrix}1 \\\\ 3\end{pmatrix}e^t + \begin{pmatrix}4 \\\\ -4\end{pmatrix}t e^t
é solução do sistema \dot{X}=A\,X.

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