Exercício 2.5.7. Pode-se facilmente provar que o espaço das soluções de um sistema linear homogêneo, com coeficientes reais e com n-incógnitas, é um sub-espaço vetorial de R^n. Agora, seja L o espaço das soluções do sistema linear
l x1+x2+x3+x4+x5=0 x1+x2+2 x3-x4-3 x5=0
Responda às seguintes questões:
a) estabelecer se (-3,0,2,1,0) e (1,1,1,0,0) pertencem a L;
b) determinar um sistema de geradores de L.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
Vamos (a) testar se dois vetores dados satisfazem essas equações e (b) encontrar um conjunto de vetores que gere (L].

Passo 2

Para decidir se um vetor (a,b,c,d,e) está em L, basta substituir em cada equação e verificar se dá zero.
Para (-3,0,2,1,0):
-3+0+2+1+0=0,
-3+0+2cdot2-1-3cdot0=-3+4-1=0
Logo (-3,0,2,1,0)in L.
Para (1,1,1,0,0):
1+1+1+0+0=3neq0,
então (1,1,1,0,0)notin L.

Passo 3

Para gerar L, resolvemos o sistema em termos de variáveis livres. Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos
(x1+x2+2x3-x4-3x5)-(x1+x2+x3+x4+x5)=0;Longrightarrow;x3-2x4-4x5=0,
isto é,
x3=2x4+4x5
Da primeira equação segue
x1+x2=-,l(x3+x4+x5r)=-l(2x4+4x5+x4+x5r)=-3x4-5x5

Passo 4

Escolhendo parâmetros
lambda=x2, mu=x4, nu=x5, temos
x1=-3mu-5nu-lambda, x2=lambda, x3=2mu+4nu, x4=mu, x5=nu
Assim o vetor genérico de L é
(x1,x2,x3,x4,x5) =lambda(-1,1,0,0,0)+mu(-3,0,2,1,0)+nu(-5,0,4,0,1)
Portanto ,(-1,1,0,0,0),,(-3,0,2,1,0),,(-5,0,4,0,1) gera L.

Resposta

a) (-3,0,2,1,0)in L e (1,1,1,0,0)notin L.
b) Um sistema de geradores de L é
,(-1,1,0,0,0),;(-3,0,2,1,0),;(-5,0,4,0,1)

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