Exercício 2.5.7. Pode-se facilmente provar que o espaço das soluções de um sistema linear homogêneo, com coeficientes reais e com
-incógnitas, é um sub-espaço vetorial de
. Agora, seja
o espaço das soluções do sistema linear
Responda às seguintes questões:
a) estabelecer se
e
pertencem a
;
b) determinar um sistema de geradores de
.
a) estabelecer se
b) determinar um sistema de geradores de
Passo 1
O enunciado define o subespaço
Vamos (a) testar se dois vetores dados satisfazem essas equações e (b) encontrar um conjunto de vetores que gere (L].
Passo 2
Para decidir se um vetor
está em
, basta substituir em cada equação e verificar se dá zero.
Para :
Para
Logo
.
Para :
Para
então
.
Passo 3
Para gerar
, resolvemos o sistema em termos de variáveis livres. Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos
isto é,
Da primeira equação segue
Passo 4
Escolhendo parâmetros
,
,
, temos
Assim o vetor genérico de
é
Portanto
gera
.
Resposta
a)
e
.
b) Um sistema de geradores de é
b) Um sistema de geradores de