Exercício 5 Para cada transformação linear T a seguir, determine \operatorname{Ker}(T), \operatorname{Im}(T) e as dimensões de \operatorname{Ker}(T) e \operatorname{Im}(T).
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(2 x, x+y);

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (2x,\,x+y)
e pede \operatorname{Ker}(T), \operatorname{Im}(T) e as dimensões desses espaços. Vamos usar a definição de núcleo (solução de T(x,y)=0) e de imagem (span das colunas ou das imagens de uma base), além do teorema da dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Para achar \operatorname{Ker}(T)\) resolvemos \[T(x,y) = (0,0) \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} 2x = 0,\\\ x + y = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=0\] e, então, da segunda \(y=0. Logo
\operatorname{Ker}(T) = \{(0,0)\}.

Passo 3

Para determinar \operatorname{Im}(T) observamos as imagens da base canônica:
T(1,0) = (2,1), \quad T(0,1) = (0,1).
Então
\operatorname{Im}(T) = \mathrm{span}\{(2,1),\,(0,1)\}.
Como (2,1) e (0,1) são linearmente independentes em \mathbb{R}^2, esse span é todo \mathbb{R}^2. Assim
\operatorname{Im}(T) = \mathbb{R}^2.

Passo 4

As dimensões seguem diretamente:
\dim\bigl(\operatorname{Ker}(T)\bigr)=0 pois o núcleo é só o vetor zero.
\dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)=2 pois a imagem é todo \mathbb{R}^2.
Verificação pelo teorema \dim\ker + \dim\mathrm{im} = 2:
0 + 2 = 2.

Resposta

\displaystyle \operatorname{Ker}(T)=\{(0,0)\},\quad \dim\bigl(\operatorname{Ker}(T)\bigr)=0
\displaystyle \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2,\quad \dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)=2

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