Exercício 5 Para cada transformação linear
a seguir, determine
e as dimensões de
e
.
;
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede
,
e as dimensões desses espaços. Vamos usar a definição de núcleo (solução de
) e de imagem (span das colunas ou das imagens de uma base), além do teorema da dimensão (rank–nullity).
Passo 2
Para achar
Da primeira equação vem
. Logo
Passo 3
Para determinar
observamos as imagens da base canônica:
Então
Como
e
são linearmente independentes em
, esse span é todo
. Assim
Passo 4
As dimensões seguem diretamente:
– pois o núcleo é só o vetor zero.
– pois a imagem é todo
.
Verificação pelo teorema :
–
–
Verificação pelo teorema