Exercício 3 Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear, tal que T(1,0)=(2,1) e T(0,1)=(1,4).
(a) Determine T(2,4).
(b) Determine (x, y) \in \mathbb{R}^{2} tal que T(x, y)=(2,3).
(c) Mostre que T é uma bijeção.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
\;T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,
com
\;T(1,0) = (2,1); e \;T(0,1) = (1,4).\n
Vamos usar a linearidade de T — isto é,
\;T(a,b) = a\,T(1,0) + b\,T(0,1) — para calcular em (a) o valor de T(2,4), em (b) resolver T(x,y)=(2,3) e em (c) mostrar que T é bijetora verificando que sua matriz tem determinante não nulo.

Passo 2

Para (a), pela linearidade temos
T(2,4) = 2\,T(1,0) + 4\,T(0,1) = 2\,(2,1) + 4\,(1,4).
Calculando coordenada a coordenada,
2\,(2,1) = (4,2), \quad 4\,(1,4) = (4,16),
então
T(2,4) = (4,2) + (4,16) = (8,18).

Passo 3

Para (b), escrevemos
T(x,y) = x\,T(1,0) + y\,T(0,1) = (2x + y,\;x + 4y),
e impomos
(2x + y,\;x + 4y) = (2,3).
Isto gera o sistema
\begin{cases} 2x + y = 2,\\\ x + 4y = 3. \end{cases}
Da primeira equação vem y = 2 - 2x. Substituindo na segunda:
x + 4(2 - 2x) = 3 \;\Longrightarrow\; x + 8 - 8x = 3 \;\Longrightarrow\; -7x = -5 \;\Longrightarrow\; x = \frac{5}{7}.
Logo
y = 2 - 2\cdot\frac{5}{7} = \frac{14 - 10}{7} = \frac{4}{7}.
Portanto a solução é \;(x,y) = \bigl(\tfrac{5}{7},\,\tfrac{4}{7}\bigr).

Passo 4

Para (c), a matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det(A) = 2\cdot4 \;-\;1\cdot1 = 8 - 1 = 7 \neq 0.
Como \det(A)\neq0, a matriz A é invertível, logo T é injetiva e sobrejetiva, isto é, bijetora.

Resposta

(a) T(2,4) = (8,18).
(b) (x,y) = \bigl(\tfrac{5}{7},\,\tfrac{4}{7}\bigr).
(c) \det(A)=7\neq0, então T é bijeção.

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