Exercício 5 Para cada transformação linear T a seguir, determine \operatorname{Ker}(T), \operatorname{Im}(T) e as dimensões de \operatorname{Ker}(T) e \operatorname{Im}(T).
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, T(x, y, z)=(x-y, x+y+z, 2 x-y+z,-y);

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4,\quad T(x,y,z) = (\,x - y,\;x + y + z,\;2x - y + z,\;-y\,).
Precisamos encontrar \ker(T), \operatorname{Im}(T) e as dimensões \dim\ker(T), \dim\operatorname{Im}(T). Para isso vamos usar (1) a definição de núcleo como solução de T(x,y,z)=0 e (2) para a imagem, calcular T em uma base de \mathbb{R}^3 e verificar sua independência linear, lembrando do Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity).

Passo 2

Para achar \ker(T) resolvemos
T(x,y,z) = (0,0,0,0),
isto é o sistema
\begin{cases} x - y = 0,\\\ x + y + z = 0,\\\\ 2x - y + z = 0,\\\\ -y = 0. \end{cases}

Passo 3

Da última equação vem y = 0. Substituindo em x - y = 0 obtemos x = 0. Em seguida, x + y + z=0 0+0+z=0\Rightarrow z=0. Logo a única solução é (x,y,z)=(0,0,0). Portanto
\ker(T)=\{(0,0,0)\},
e assim
\dim\ker(T)=0.

Passo 4

Para a imagem, calculamos T em vetores da base canônica de \mathbb{R}^3:
T(1,0,0) = (1,1,2,0),\quad T(0,1,0) = (-1,1,-1,-1),\quad T(0,0,1) = (0,1,1,0).
Logo
\operatorname{Im}(T) = \mathrm{span}\{(1,1,2,0),\,(-1,1,-1,-1),\,(0,1,1,0)\}.

Passo 5

Os três vetores acima são linearmente independentes (por exemplo, pelo posto do sistema formado ou pelo rank–nullity, já que \dim\ker(T)=0 força \dim\operatorname{Im}(T)=3). Logo
\dim\operatorname{Im}(T)=3.
Uma descrição alternativa é notar que, escrevendo um vetor genérico (u,v,w,t)\in\operatorname{Im}(T), aparece a relação
w = u + v + t,
de modo que
\operatorname{Im}(T)=\{(u,v,w,t)\in\mathbb{R}^4 \mid w - u - v - t = 0\}.

Resposta

\displaystyle \ker(T)=\{(0,0,0)\},\;\dim\ker(T)=0.
\displaystyle \operatorname{Im}(T)=\mathrm{span}\{(1,1,2,0),\,(-1,1,-1,-1),\,(0,1,1,0)\},\;\dim\operatorname{Im}(T)=3.

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