Para cada uma das transformações lineares T dadas, determine o seu Núcleo e Imagem. Em seguida, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y, z)=(x+y+z, 2 x+2 y+2 z).

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 definida por
T(x,y,z) = (\,x+y+z,\;2x+2y+2z\,).
Queremos encontrar o núcleo \ker T (soluções de T(x,y,z)=(0,0)) e a imagem \mathrm{Im}\,T (subespaço gerado pelos valores de T). Depois determinamos bases e dimensões.

Passo 2

Para achar \ker T\) impomos \[T(x,y,z)=(0,0) \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x+y+z=0,\\\\ 2x+2y+2z=0. \end{cases}
Como a segunda equação é (2] vezes a primeira, só temos uma condição independente:
x + y + z = 0.

Passo 3

Parametrizamos essa equação escolhendo y e z livres:
x = -\,y - z.
Então
(x,y,z) = (-y - z,\,y,\,z) = y\,(-1,1,0) + z\,(-1,0,1).
Logo uma base de \ker T é
\{\,(-1,1,0),\;(-1,0,1)\}
e
\dim(\ker T) = 2.

Passo 4

Para a imagem, note que
T(x,y,z) = (x+y+z,\;2(x+y+z)) = (x+y+z)\,(1,2).
Isto mostra que todo vetor em \mathrm{Im}\,T é múltiplo de (1,2). Portanto
\mathrm{Im}\,T = \mathrm{Span}\{(1,2)\},
com
\dim(\mathrm{Im}\,T) = 1.

Resposta

\ker T = \mathrm{Span}\{(-1,1,0),\;(-1,0,1)\},\quad \dim(\ker T)=2.
\mathrm{Im}\,T = \mathrm{Span}\{(1,2)\},\quad \dim(\mathrm{Im}\,T)=1.

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