Exercício 7 Determine uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} de modo que a dimensão do núcleo de T seja 1.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} tal que \dim\ker T=1. O teorema da dimensão (rank–nullity) diz que
\dim\ker T + \dim\mathrm{Im}\,T = 3.
Como queremos \dim\ker T=1, precisamos de \dim\mathrm{Im}\,T=2.

Passo 2

Uma forma simples de construir T com \dim\mathrm{Im}\,T=2 é projetar \mathbb{R}^{3} sobre um subespaço de dimensão 2. Por exemplo, definimos
T(x,y,z) = (x,y,0).
Em coordenadas canônicas, a matriz de T é
[T] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para achar o núcleo, resolvemos
T(x,y,z) = (0,0,0) \;\Longleftrightarrow\; (x,y,0) = (0,0,0) \;\Longleftrightarrow\; x=0,\;y=0,\;z\;\text{livre}.
Logo
\ker T = \{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\} = \Span\{(0,0,1)\},
e portanto \dim\ker T=1.

Resposta

Uma transformação que atende ao pedido é
T(x,y,z) = (x,y,0),
pois \dim\ker T=1.

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