Exercício 2) Calcular o empuxo exercido sobre uma comporta circular de 0,3 \mathrm{~m} de diâmetro, instalada horizontalmente sobre o fundo de um reservatório, com 2 m de lâmina d’água.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o empuxo sobre uma comporta circular horizontal no fundo de um reservatório. Dados fornecidos:
\begin{aligned} \text{diâmetro da comporta: } & D = 0{,}3\\ \mathrm{m},\\\ \text{lâmina d'água (profundidade até a comporta): } & h = 2\\ \mathrm{m}. \end{aligned}ââáé
Pergunta: Calcular o empuxo (força hidrostática resultante) exercido pela água sobre a comporta.

Passo 2

Entendendo o que é empuxo em superfícies planas horizontais — teoria básica (fácil e importante):
A pressão em um ponto de um líquido em repouso depende apenas da profundidade z abaixo da superfície livre e é dada por
p(z)=\rho\,g\,z,
onde:
\begin{aligned} \rho &\text{ é a massa específica do líquido (para água potável } \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}),\\\ g &\text{ é a aceleração da gravidade (vamos usar } g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}),\\\ z &\text{ é a profundidade do ponto abaixo da superfície livre (em metros).} \end{aligned}éííááéçãéí
Para uma superfície plana horizontal toda a sua área está à mesma profundidade h. Logo a pressão sobre toda a superfície é uniforme e igual a p=\rho g h. A força (empuxo) resultante sobre a superfície é então simplesmente a pressão multiplicada pela área:
F = p \, A = \rho\,g\,h\,A.
Observação didática: em superfícies inclinadas ou verticais a pressão varia com z e seria preciso integrar; aqui é simples porque a profundidade é constante em toda a placa.

Passo 3

Calcular a área da comporta (é um círculo de diâmetro D). Primeiro o raio:
r=\frac{D}{2}=\frac{0{,}3}{2}=0{,}15\\ \mathrm{m}.
Área do círculo:
A=\pi r^{2}=\pi (0{,}15)^{2}=\pi\cdot 0{,}0225.
Podemos deixar em forma simbólica útil:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.

Passo 4

Escrever a expressão final do empuxo substituindo A:
F=\rho\,g\,h\,A=\rho\,g\,h\left(\frac{\pi D^{2}}{4}\right).
Agora substituímos os valores numéricos: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, h=2\\ \mathrm{m}, D=0{,}3\\ \mathrm{m}. Primeiro calculamos o produto numérico antes de multiplicar por \pi:
\rho\,g\,h\,\frac{D^{2}}{4}=1000\cdot 9{,}81\cdot 2\cdot\frac{(0{,}3)^{2}}{4}.
Calcule passo a passo:
(0{,}3)^{2}=0{,}09,
\frac{(0{,}3)^{2}}{4}=\frac{0{,}09}{4}=0{,}0225,
1000\cdot 9{,}81\cdot 2=19620,
19620\cdot 0{,}0225=441{,}45.
Portanto
F=441{,}45\cdot \pi\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Agora calculamos numericamente:
F=441{,}45\cdot\pi \approx 441{,}45\cdot 3{,}14159265 \approx 1386{,}46\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos dizer F\approx 1{,}39\times 10^{3}\\ \mathrm{N} ou F\approx 1386\\ \mathrm{N}.

Resposta

F \approx 1386{,}46\\ \mathrm{N}

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