Exercício 4) Seja uma comporta triangular vertical, com 1,20 \mathrm{~m} de base e 0,90 \mathrm{~m} de altura, tendo o vértice para cima e a uma profundidade de 1,50 \mathrm{~m}.
a) Calcular o valor do empuxo
b) Localizar o ponto de aplicação

Passo 1

O enunciado dá uma comporta triangular vertical com vértice para cima e pede duas coisas:
a) Calcular o valor do empuxo sobre essa superfície.
b) Localizar o ponto de aplicação (centro de pressão) desse empuxo.
Dados fornecidos:
\text{base do triângulo } b = 1,20\\ \mathrm{m}â
\text{altura do triângulo } h = 0,90\\ \mathrm{m}â
\text{profundidade do vértice (ápice) em relação à superfície livre } h_{\text{ápice}} = 1,50\\ \mathrm{m}éáçãàíá
Observação: a comporta é uma superfície plana vertical triangular cuja face é sujeita à pressão hidrostática que varia com a profundidade. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro estabelecemos as hipóteses físicas e a fórmula básica da pressão hidrostática.
Hipóteses usuais (adotadas aqui):
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}\quad(\text{densidade da água})á
g = 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}
Fórmula da pressão hidrostática a uma profundidade y (medida a partir da superfície livre):
p(y)=\rho g y
onde p é em pascal ( \mathrm{N/m^{2}}), \rho é a densidade do fluido, g é a aceleração da gravidade e y é a profundidade.
A resultante (empuxo) sobre uma superfície plana vertical pode ser calculada pela pressão no centróide multiplicada pela área:
F = p_c \, A = \rho g y_c \, A,
onde y_c é a profundidade do centróide da superfície e A é a área da superfície. Vou usar essa propriedade porque para superfícies planas verticais vale que a força resultante age como se fosse a pressão avaliada no centróide multiplicada pela área.

Passo 3

Calcular a área A do triângulo (fórmula conhecida e simples):
A=\tfrac{1}{2} b h.
Substituindo os valores:
A=\tfrac{1}{2}\cdot 1,20\cdot 0,90 = 0,54\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Encontrar a profundidade do centróide y_c.
Para um triângulo com vértice para cima (base embaixo), o centróide ao longo da altura fica a 2/3 da altura medida a partir do vértice. Ou seja, a distância do vértice até o centróide é
\text{distância do vértice ao centróide} = \frac{2}{3}h.âéó
Portanto a profundidade do centróide em relação à superfície livre é
y_c = h_{\text{ápice}} + \frac{2}{3}h.á
Substituindo:
y_c = 1,50 + \frac{2}{3}\cdot 0,90 = 1,50 + 0,60 = 2,10\\ \mathrm{m}.
(Comentário didático: a fórmula \tfrac{2}{3}h vem da integração do momento estático do triângulo; é uma propriedade geométrica do centróide de triângulos.)

Passo 5

Calcular a pressão no centróide p_c:
p_c = \rho g y_c = 1000\cdot 9,81\cdot 2,10.
Fazendo as contas:
p_c = 1000\cdot 9,81\cdot 2,10 = 20601\\ \mathrm{Pa}\\ (\mathrm{N/m^{2}}).
Agora o empuxo (resultante):
F = p_c \, A = 20601\cdot 0,54 = 11124{,}54\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma adequada, podemos escrever F \approx 1{,}11\times 10^{4}\\ \mathrm{N} (ou 11{,}12\\ \mathrm{kN}).

Passo 6

Agora vamos localizar o ponto de aplicação (centro de pressão). Para uma superfície plana vertical, a profundidade do centro de pressão y_p (medida a partir da superfície livre) é dada por:
y_p = y_c + \frac{I_{x,c}}{y_c A},
onde I_{x,c} é o momento de inércia da área da superfície em relação ao eixo horizontal que passa pelo centróide (eixo paralelo à superfície livre), y_c é a profundidade do centróide e A a área.
Vou calcular I_{x,c} para o triângulo.

Passo 7

Cálculo de I_{x,c} para o triângulo.
Considere a coordenada y medida a partir do vértice (ápice) para baixo, 0\le y\le h. A largura do triângulo a uma profundidade y é proporcional a y:
b(y)=\frac{b}{h}\,y.
Um elemento de área horizontal é dA = b(y)\,dy = \frac{b}{h}\,y\,dy.
O momento de inércia em relação ao eixo horizontal que passa pelo vértice (apex) é
I_{x,\text{ápice}} = \int_{0}^{h} y^{2}\,dA = \int_{0}^{h} y^{2}\left(\frac{b}{h}y\right)dy = \frac{b}{h}\int_{0}^{h} y^{3}dy = \frac{b}{h}\cdot \frac{h^{4}}{4} = \frac{b h^{3}}{4}.á
Usando o teorema dos eixos paralelos para obter I_{x,c} (momento em torno do eixo que passa pelo centróide):
I_{x,c} = I_{x,\text{ápice}} - A\,y_c^{2}.á
Lembrando que a distância do ápice ao centróide é y_c^{\text{(a partir do ápice)}}=\tfrac{2}{3}há (já usada antes). Substituindo A=\tfrac{1}{2}bh e efetuando as contas:
I_{x,c} = \frac{b h^{3}}{4} - \left(\frac{1}{2} b h\right)\left(\frac{2}{3}h\right)^{2} = \frac{b h^{3}}{4} - \frac{1}{2} b h \cdot \frac{4}{9}h^{2} = \frac{b h^{3}}{4} - \frac{2 b h^{3}}{9}.
Fazendo o mínimo comum:
\frac{1}{4}-\frac{2}{9}=\frac{9-8}{36}=\frac{1}{36},
portanto
I_{x,c}=\frac{b h^{3}}{36}.
(Comentário: essa é uma fórmula padrão para o momento de inércia de um triângulo isósceles com base b e altura h, em torno do eixo que passa pelo seu centróide e é paralelo à base.)

Passo 8

Calcular numericamente I_{x,c} com b=1,20\\ \mathrm{m} e h=0,90\\ \mathrm{m}:
I_{x,c} = \frac{1,20\cdot (0,90)^{3}}{36}.
Calcule 0,90^{3}=0,729. Então
I_{x,c} = \frac{1,20\cdot 0,729}{36} = \frac{0,8748}{36} = 0,0243\\ \mathrm{m^{4}}\quad(\text{aprox.}).

Passo 9

Calcular a profundidade do centro de pressão:
y_p = y_c + \frac{I_{x,c}}{y_c A}.
Substituindo y_c=2,10\\ \mathrm{m}, I_{x,c}=0,0243\\ \mathrm{m^{4}} e A=0,54\\ \mathrm{m^{2}}:
y_p = 2,10 + \frac{0,0243}{2,10\cdot 0,54}.
Calcule o denominador: 2,10\cdot 0,54 = 1,134. Assim
\frac{0,0243}{1,134} \approx 0,02144\\ \mathrm{m}.
Portanto
y_p \approx 2,10 + 0,02144 = 2,12144\\ \mathrm{m}.
Isso significa que o ponto de aplicação do empuxo está a aproximadamente 2,121\\ \mathrm{m} abaixo da superfície livre.
Para referência dentro da própria comporta:
  • distância do vértice (ápice) até o ponto de aplicação: y_p - h_{\text{ápice}} = 2,12144 - 1,50 = 0,62144\\ \mathrm{m}á (aprox. 0,621\\ \mathrm{m} abaixo do vértice);
  • distância até a base (inferior): h_{\text{ápice}}+h - y_p = 2,40 - 2,12144 = 0,27856\\ \mathrm{m}á (aprox. 0,279\\ \mathrm{m} acima da base).

Passo 10

Resumo interpretativo e incentivo: o empuxo é a soma das pressões ao longo da superfície e atua mais para baixo que o centróide geométrico (por isso y_p>y_c). Se você fizer isso na prova, siga os mesmos passos: calcular área, localizar centróide, aplicar F=\rho g y_c A e depois a fórmula do y_p com I_{x,c}. Respira fundo — deu certo, você consegue!

Resposta

a) F = 1,11 \times 10^{4}\\ \mathrm{N}
b) profundidade do ponto de aplicação em relação à superfície livre: y_p = 2,121\\ \mathrm{m} (equivalente a 0,621\\ \mathrm{m} abaixo do vértice).

Exercícios relacionados