Exercício 4) Seja uma comporta triangular vertical, com
de base e
de altura, tendo o vértice para cima e a uma profundidade de
.
a) Calcular o valor do empuxo
b) Localizar o ponto de aplicação
a) Calcular o valor do empuxo
b) Localizar o ponto de aplicação
Passo 1
O enunciado dá uma comporta triangular vertical com vértice para cima e pede duas coisas:
a) Calcular o valor do empuxo sobre essa superfície.
b) Localizar o ponto de aplicação (centro de pressão) desse empuxo.
a) Calcular o valor do empuxo sobre essa superfície.
b) Localizar o ponto de aplicação (centro de pressão) desse empuxo.
Dados fornecidos:
Observação: a comporta é uma superfície plana vertical triangular cuja face é sujeita à pressão hidrostática que varia com a profundidade. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro estabelecemos as hipóteses físicas e a fórmula básica da pressão hidrostática.
Hipóteses usuais (adotadas aqui):
Fórmula da pressão hidrostática a uma profundidade
(medida a partir da superfície livre):
onde
é em pascal (
),
é a densidade do fluido,
é a aceleração da gravidade e
é a profundidade.
A resultante (empuxo) sobre uma superfície plana vertical pode ser calculada pela pressão no centróide multiplicada pela área:
onde
é a profundidade do centróide da superfície e
é a área da superfície. Vou usar essa propriedade porque para superfícies planas verticais vale que a força resultante age como se fosse a pressão avaliada no centróide multiplicada pela área.
Passo 3
Calcular a área
do triângulo (fórmula conhecida e simples):
Substituindo os valores:
Passo 4
Encontrar a profundidade do centróide
.
Para um triângulo com vértice para cima (base embaixo), o centróide ao longo da altura fica a
da altura medida a partir do vértice. Ou seja, a distância do vértice até o centróide é
Portanto a profundidade do centróide em relação à superfície livre é
Substituindo:
(Comentário didático: a fórmula
vem da integração do momento estático do triângulo; é uma propriedade geométrica do centróide de triângulos.)
Passo 5
Calcular a pressão no centróide
:
Fazendo as contas:
Agora o empuxo (resultante):
Arredondando de forma adequada, podemos escrever
(ou
).
Passo 6
Agora vamos localizar o ponto de aplicação (centro de pressão). Para uma superfície plana vertical, a profundidade do centro de pressão
(medida a partir da superfície livre) é dada por:
onde
é o momento de inércia da área da superfície em relação ao eixo horizontal que passa pelo centróide (eixo paralelo à superfície livre),
é a profundidade do centróide e
a área.
Vou calcular
para o triângulo.
Passo 7
Cálculo de
para o triângulo.
Considere a coordenada
medida a partir do vértice (ápice) para baixo,
. A largura do triângulo a uma profundidade
é proporcional a
:
Um elemento de área horizontal é
.
O momento de inércia em relação ao eixo horizontal que passa pelo vértice (apex) é
Usando o teorema dos eixos paralelos para obter
(momento em torno do eixo que passa pelo centróide):
Lembrando que a distância do ápice ao centróide é
(já usada antes). Substituindo
e efetuando as contas:
Fazendo o mínimo comum:
portanto
(Comentário: essa é uma fórmula padrão para o momento de inércia de um triângulo isósceles com base
e altura
, em torno do eixo que passa pelo seu centróide e é paralelo à base.)
Passo 8
Calcular numericamente
com
e
:
Calcule
. Então
Passo 9
Calcular a profundidade do centro de pressão:
Substituindo
,
e
:
Calcule o denominador:
. Assim
Portanto
Isso significa que o ponto de aplicação do empuxo está a aproximadamente
abaixo da superfície livre.
Para referência dentro da própria comporta:
- distância do vértice (ápice) até o ponto de aplicação:
(aprox. abaixo do vértice); - distância até a base (inferior):
(aprox. acima da base).
Passo 10
Resumo interpretativo e incentivo: o empuxo é a soma das pressões ao longo da superfície e atua mais para baixo que o centróide geométrico (por isso
). Se você fizer isso na prova, siga os mesmos passos: calcular área, localizar centróide, aplicar
e depois a fórmula do
com
. Respira fundo — deu certo, você consegue!
Resposta
a)
b) profundidade do ponto de aplicação em relação à superfície livre:
(equivalente a
abaixo do vértice).