Exercicio
Calcular \int_{1}^{2} \int_{y}^{y^{2}} \int_{0}^{\log x} y e^{z} d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\int_{1}^{2} \int_{y}^{y^{2}} \int_{0}^{\ln x} y\,e^{z}\,dz\,dx\,dy.
O conteúdo envolve integração iterada em z, depois em x e em y. Vamos usar que
\displaystyle \int e^{z}dz = e^{z}
e, em seguida, as fórmulas básicas de integrais de polinômios.

Passo 2

Calcular a integral interna em z:
\int_{0}^{\ln x} y\,e^{z}\,dz = y\bigl[e^{z}\bigr]_{0}^{\ln x} = y\bigl(e^{\ln x}-1\bigr) = y\,(x-1).

Passo 3

Substituindo esse resultado na integral em x:
\int_{y}^{y^{2}} y\,(x-1)\,dx = y\int_{y}^{y^{2}}(x-1)\,dx = y\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}-x\Bigr]_{y}^{y^{2}} = y\Bigl(\tfrac{y^{4}}{2}-y^{2}-\tfrac{y^{2}}{2}+y\Bigr) = \tfrac{y^{5}}{2}-\tfrac{3y^{3}}{2}+y^{2}.

Passo 4

Agora, integramos em y de 1 a 2:
\int_{1}^{2}\Bigl(\tfrac{y^{5}}{2}-\tfrac{3y^{3}}{2}+y^{2}\Bigr)dy =\Bigl[\tfrac{y^{6}}{12}-\tfrac{3y^{4}}{8}+\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{2}.
Em y=2:
\displaystyle \tfrac{64}{12}-6+\tfrac{8}{3}=2.
Em y=1:
\displaystyle \tfrac{1}{12}-\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{24}.
Subtraindo, vem
2-\tfrac{1}{24}=\tfrac{47}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{47}{24}

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