Exercicior \iiint_{R}^{2.14} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y d z onde R é o sólido limitado por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, z=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dx\,dy\,dz
onde R é o sólido limitado pelas superfícies
z = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \quad\text{e}\quad z = 1.
O conteúdo envolvido é integrais triplas em coordenadas cilíndricas; vamos usar a mudança
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com o jacobiano dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = r \quad\text{e}\quad dV = r\,dr\,d\theta\,dz,
logo o integrando fica r\cdot r = r^{2}.

Passo 3

A região R em cilíndricas é descrita por
0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le r \le 1,\quad r \le z \le 1,
pois a interseção de z=r com z=1 r=1.

Passo 4

Escrevendo a integral com esses limites:
\iiint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{r}^{1} r^{2}\;dz\,dr\,d\theta.
Primeiro integramos em z:
\int_{r}^{1} r^{2}\;dz = r^{2}(1 - r).

Passo 5

Agora integramos em r e \theta:
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} r^{2}(1 - r)\;dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\Bigl[\tfrac{r^{3}}{3} - \tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{1} d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4}\bigr) d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\tfrac{1}{12}\,d\theta = \tfrac{2\pi}{12} = \tfrac{\pi}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}

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