Se R é a região limitada pelos planos x=1, x=2 e pelos cilindros y^{2}+z^{2}=4, y^{2}+z^{2}=9 calcular \iiint_{R} e^{x} \sqrt{y^{2}+z^{2}} d x d y d z.

Solução.

(1) A região a ser estudada é R=

Passo 1

O enunciado pede a integral
\iiint_{R} e^{x}\,\sqrt{y^{2}+z^{2}}\;dx\,dy\,dz
onde R é o sólido limitado pelos planos x=1 e x=2 e pelos cilindros y^{2}+z^{2}=4 e y^{2}+z^{2}=9. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,x) para explorar a simetria em torno do eixo x.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
y = r\cos\theta, \quad z = r\sin\theta,
de modo que \sqrt{y^{2}+z^{2}}=r e o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dx.
Os limites são
\;1\le x\le2,\;2\le r\le3,\;0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

Substituindo no integrando,
e^{x}\,\sqrt{y^{2}+z^{2}}\;dV = e^{x}\,r\;\bigl(r\,dr\,d\theta\,dx\bigr) = e^{x}\,r^{2}\,dr\,d\theta\,dx.
Assim a integral se separa em produto de três integrais simples.

Passo 4

Escrevemos
\iiint_{R} e^{x}\sqrt{y^{2}+z^{2}}\,dV = \Bigl(\int_{x=1}^{2}e^{x}dx\Bigr) \Bigl(\int_{\theta=0}^{2\pi}d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{r=2}^{3}r^{2}dr\Bigr).
Calculamos primeiro
\int_{r=2}^{3}r^{2}dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{2}^{3} = \frac{27-8}{3} = \frac{19}{3}.

Passo 5

Em seguida,
\int_{\theta=0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,
logo a parte radial-angular é
\frac{19}{3}\times 2\pi = \frac{38\pi}{3}.

Passo 6

Por fim,
\int_{x=1}^{2}e^{x}dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{1}^{2} = e^{2}-e.
Multiplicando tudo,
\iiint_{R} e^{x}\sqrt{y^{2}+z^{2}}\,dV = \bigl(e^{2}-e\bigr)\,\frac{38\pi}{3}.

Resposta

\frac{38\pi}{3}\,\bigl(e^{2}-e\bigr).

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