Exercício 1 Calcular a integral integral duplaD(2 x-y^2) d A, sendo D a região delimitada por
x=-1, x=2, y=-3 e y=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD(2x - y^2),dA
sobre a região D que é o retângulo definido por
-1 <= x <= 2, -3 <= y <= 2
O conteúdo é aplicação da regra de Fubini para integrar funções contínuas em regiões retangulares.

Passo 2

Pela regra de Fubini, escrevemos
integral duplaD(2x - y^2),dA =integralx=-1^2l(integraly=-3^2(2x - y^2),dyr),dx

Passo 3

Calculemos a integral interna em y:
integraly=-3^2(2x - y^2),dy = integral-3^22x,dy ;-;integral-3^2y^2,dy
Como 2x é constante em y,
integral-3^22x,dy = 2xl(2 - (-3)r) = 2xcdot5 = 10x
E
integral-3^2y^2,dy =[y^33]-3^2 =2^33-(-3)^33 =83-l(-273r) =353
Logo a integral interna é
integral-3^2(2x - y^2),dy = 10x - 353

Passo 4

Agora integramos em x:
integralx=-1^2l(10x - 353r),dx =integral-1^210x,dx ;-;integral-1^2353,dx
Calculemos cada parte:
integral-1^210x,dx =[5x^2]-1^2 =5cdot 2^2-5cdot(-1)^2 =20-5=15,
integral-1^2353,dx =353l(2 - (-1)r) =353cdot3 =35
Portanto
integral-1^2l(10x - 353r),dx =15-35=-20

Resposta

O valor da integral é -20.

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