Q1
Seja y=f(x) uma função contínua no intervalo a, b cujo gráfico descreve o arco A B, em que A(a, f(a)) e B(b, f(b)). Mostre que seu comprimento é dado por
ell(f, a, b)=integrala^b raiz1+[f^prime(x)]^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para achar o comprimento do arco do gráfico de y=f(x) em [a,b]. A ideia é aproximar esse arco por um poligonal e usar o Teorema do Valor Médio junto com a passagem ao limite via somas de Riemann.

Passo 2

Dividimos [a,b] numa partição a=x0<cdots<xn=b e ligamos os pontos Pi=(xi,f(xi)) por segmentos de reta. O comprimento da poligonal é
Ln=sumi=1^nraiz(xi-xi-1)^2+(f(xi)-f(xi-1))^2
Reescrevendo cada termo:
Ln=sumi=1^nraiz1+l(f(xi)-f(xi-1)xi-xi-1r)^2,(xi-xi-1)

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Médio existe xiiin[xi-1,xi] tal que
f(xi)-f(xi-1)=f'(xii),(xi-xi-1)
Substituindo em Ln, obtemos
Ln=sumi=1^nraiz1+[f'(xii)]^2,(xi-xi-1)

Passo 4

Como g(x)=raiz1+[f'(x)]^2 é contínua em [a,b], a soma Ln é uma soma de Riemann para g. Fazendo o diâmetro da partição tender a zero,
limntoinftyLn =integrala^braiz1+[f'(x)]^2,dx
Esse limite coincide com o comprimento exato do arco.

Resposta

ell(f,a,b)=integrala^braiz1+[f'(x)]^2,dx

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