Q1
Seja
uma função contínua no intervalo
cujo gráfico descreve o arco
, em que
e
. Mostre que seu comprimento é dado por
Passo 1
O enunciado pede para achar o comprimento do arco do gráfico de
em
. A ideia é aproximar esse arco por um poligonal e usar o Teorema do Valor Médio junto com a passagem ao limite via somas de Riemann.
Passo 2
Dividimos
numa partição
e ligamos os pontos
por segmentos de reta. O comprimento da poligonal é
Reescrevendo cada termo:
Passo 3
Pelo Teorema do Valor Médio existe
tal que
Substituindo em
, obtemos
Passo 4
Como
é contínua em
, a soma
é uma soma de Riemann para
. Fazendo o diâmetro da partição tender a zero,
Esse limite coincide com o comprimento exato do arco.