A vazão de ar na seção de alimentação de um compressor é de 30 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} (nas condições padrões, 15^{\circ} \mathrm{Ce} 101,3 \mathrm{kPa} ). A relação de compressão, \mathrm{p}_{\text {saida }} / \mathrm{p}_{\text {entrada }} é igual a 10 e sabe-se que durante a compressão p / \rho^{n} permanece constante, com \mathrm{n}=1,4. Determine qual é o diâmetro mínimo do tubo de descarga do compressor sabendo que a velocidade média na seção de descarga do compressor não deve exceder 30 \mathrm{m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro mínimo da tubulação de descarga de um compressor, sabendo que a velocidade média nessa seção não deve exceder 30\\ \mathrm{m/s}. Dados fornecidos (vou listar tudo para não nos perdermos):
Q_{\text{entrada}} = 30\\ \mathrm{m^3/s}
(fluxo volumétrico nas condições-padrão 15^\circ\mathrm{C} e 101{,}3\\ \mathrm{kPa}),\newline
\frac{p_{\text{saida}}}{p_{\text{entrada}}} = 10,
relação politrópica válida durante a compressão:
\frac{p}{\rho^{n}}=\text{constante},\qquad n=1{,}4,
e velocidade máxima permitida na descarga:
V_{\max}=30\\ \mathrm{m/s}.
O que é pedido: achar o menor diâmetro D_{\min} tal que a velocidade média na descarga não ultrapasse V_{\max}.

Passo 2

Plano de solução (sem calcular ainda): a massa mássica é conservada, logo a vazão mássica \dot{m} será a mesma na entrada e na saída. Com a vazão volumétrica conhecida na entrada e a densidade na entrada obtida pela equação dos gases ideais, encontramos \dot{m}=\rho_1 Q_1. Em seguida usamos a relação politrópica para achar a densidade na saída \rho_2 a partir de \rho_1 e da razão de pressões. Com \rho_2 determinamos a vazão volumétrica na saída Q_2=\dot{m}/\rho_2. Finalmente a área mínima é A_{\min}=Q_2/V_{\max} e o diâmetro é D_{\min}=\sqrt{4A_{\min}/\pi}.

Passo 3

Cálculo da densidade do ar nas condições-padrão (entrada) usando a equação dos gases ideais:
\rho_1=\frac{p_1}{R\,T_1},
onde p_1 é a pressão de entrada, T_1 é a temperatura absoluta da entrada e R é a constante específica do ar ( R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}). Convertendo:
p_1=101{,}3\\ \mathrm{kPa}=101300\\ \mathrm{Pa},\qquad T_1=15^\circ\mathrm{C}=288{,}15\\ \mathrm{K}.
Agora calculamos:
\rho_1=\frac{101300}{287\cdot 288{,}15}\\ \mathrm{kg/m^3}.
Faço a conta passo a passo: 287\cdot 288{,}15=82700 (aprox.) e então
\rho_1\approx 1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 4

Vazão mássica (constante ao longo do compressor):
\dot{m}=\rho_1 Q_1 = 1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3}\times 30\\ \mathrm{m^3/s}.
Logo
\dot{m}\approx 36{,}75\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Usando a relação politrópica \dfrac{p}{\rho^{n}}=\text{constante}, podemos relacionar densidades e pressões inicial e final:
\frac{p_1}{\rho_1^{n}}=\frac{p_2}{\rho_2^{n}}\quad\Rightarrow\quad \rho_2=\rho_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1/n}.
Aqui \dfrac{p_2}{p_1}=10 e n=1{,}4, então
\rho_2=\rho_1\cdot 10^{1/1{,}4}= \rho_1\cdot 10^{0{,}7142857\ldots}.
Calculando 10^{0{,}7142857}\approx 5{,}181, assim
\rho_2\approx 1{,}225\times 5{,}181 \approx 6{,}347\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 6

Vazão volumétrica na saída:
Q_2=\frac{\dot{m}}{\rho_2}=\frac{36{,}75}{6{,}347}\\ \mathrm{m^3/s}.
Fazendo a divisão:
Q_2\approx 5{,}792\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 7

Área mínima da seção de descarga para não exceder V_{\max}:
A_{\min}=\frac{Q_2}{V_{\max}}=\frac{5{,}792}{30}\\ \mathrm{m^2}.
Logo
A_{\min}\approx 0{,}19307\\ \mathrm{m^2}.

Passo 8

Converte a área para o diâmetro de tubo (seção circular):
A=\frac{\pi D^2}{4}\quad\Rightarrow\quad D=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
Aplicando A_{\min}:
D_{\min}=\sqrt{\frac{4\cdot 0{,}19307}{\pi}}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}496\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: arredondando para uma dimensão comercial, isso corresponde a um tubo de aproximadamente 0{,}50\\ \mathrm{m} de diâmetro.

Resposta

\;D_{\text{mín}}=0,496\\ \mathrm{m}í

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