Exercício 1.6. Calcular a raiz de 2 x^{3}-\cos (x+1)-3=0, pertencente ao intervalo [-1,2], com precisão de 0.01 usando o Método de Bisseção com no máximo 10 passos. Verifique quantos passos no mínimo são necessários para ter uma precisão de 10^{-8}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a raiz da equação \,2x^{3}-\cos(x+1)-3=0\, que pertence ao intervalo [-1,2] usando o Método da Bisseção com precisão \,0,01\, e realizando no máximo 10 passos.
  • Verificar quantos passos, no mínimo, são necessários para obter precisão \,10^{-8}.
Informações dadas:
  • Função a ser usada: \,f(x)=2x^{3}-\cos(x+1)-3\,.
  • Intervalo inicial: \,a=-1 e b=2.
  • Precisão desejada para a primeira parte: \,0,01.
  • Limite máximo de passos permitido: 10.
  • Precisão para a segunda pergunta: \,10^{-8}.

Passo 2

Breve explicação do Método da Bisseção (como funciona e notação):
  • Supondo uma função contínua \,f e um intervalo [a,b] com \,f(a)\cdot f(b)<0, existe pelo menos uma raiz em [a,b].
  • A cada iteração calcula-se o ponto médio \,m=\dfrac{a+b}{2}. Se \,f(m)=0 acabou; se \,f(a)\cdot f(m)<0 a raiz está em [a,m], senão está em [m,b].
  • Após n iterações o tamanho do intervalo é \,L_n=\dfrac{b-a}{2^{n}}. Um limite seguro para o erro absoluto do ponto médio (estimativa da raiz) é metade do comprimento do intervalo: \,\text{erro}_{\max}\le \dfrac{L_n}{2}=\dfrac{b-a}{2^{n+1}}\,.
  • Logo, para garantir erro absoluto \le\varepsilon basta tomar n tal que
\dfrac{b-a}{2^{n+1}}\le\varepsilon
que é equivalente a
n \ge \log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{\varepsilon}\right)-1.
Aqui \,b-a=2-(-1)=3.

Passo 3

Primeiro verifico sinal nos extremos para garantir existência de raiz em [-1,2].
Calculo f(-1):
f(-1)=2(-1)^3-\cos((-1)+1)-3 = -2 - \cos(0) -3 = -2 -1 -3 = -6.
Logo \,f(-1)=-6<0.
Calculo f(2):
f(2)=2(2)^3-\cos(2+1)-3 = 16 - \cos(3) -3 = 13 - \cos(3).
Usando \cos(3)\approx -0{,}9899924966 (valor aproximado),
f(2)\approx 13 -(-0{,}9899924966)=13{,}9899924966>0.
Como \,f(-1)\cdot f(2)<0, existe pelo menos uma raiz em [-1,2]. Podemos aplicar a bisseção.

Passo 4

Intervalo inicial: [a_0,b_0]=[-1,2].
Ponto médio:
m_1=\dfrac{-1+2}{2}=0{,}5.
Avalio f(0{,}5):
f(0{,}5)=2(0{,}5)^3-\cos(0{,}5+1)-3 = 2(0{,}125)-\cos(1{,}5)-3 =0{,}25-\cos(1{,}5)-3.
Com \cos(1{,}5)\approx 0{,}0707372017,
f(0{,}5)\approx 0{,}25-0{,}0707372017-3 = -2{,}8207372017<0.
Como f(0{,}5) é negativo e f(2) é positivo, a raiz está em [0{,}5,\,2]. Atualizo:
[a_1,b_1]=[0{,}5,\,2].

Passo 5

m_2=\dfrac{0{,}5+2}{2}=1{,}25.
Calculo f(1{,}25):
f(1{,}25)=2(1{,}25)^3-\cos(1{,}25+1)-3 = 2(1{,}953125)-\cos(2{,}25)-3
=3{,}90625-\cos(2{,}25)-3 =0{,}90625-\cos(2{,}25).
Com \cos(2{,}25)\approx -0{,}6281736224,
f(1{,}25)\approx 0{,}90625 -(-0{,}6281736224)=1{,}5344236224>0.
Sinal oposto ao de f(0{,}5), então a raiz está em [0{,}5,\,1{,}25]. Atualizo:
[a_2,b_2]=[0{,}5,\,1{,}25].

Passo 6

m_3=\dfrac{0{,}5+1{,}25}{2}=0{,}875.
Calculo f(0{,}875):
f(0{,}875)=2(0{,}875)^3-\cos(0{,}875+1)-3.
Calculando 0{,}875^3=0{,}669921875, então
f(0{,}875)=2(0{,}669921875)-\cos(1{,}875)-3 =1{,}33984375 -\cos(1{,}875)-3
= -1{,}66015625 -\cos(1{,}875).
Com \cos(1{,}875)\approx -0{,}299520,
f(0{,}875)\approx -1{,}66015625 -(-0{,}299520)\approx -1{,}36063625<0.
Logo a raiz fica em [0{,}875,\,1{,}25]. Atualizo:
[a_3,b_3]=[0{,}875,\,1{,}25].

Passo 7

m_4=\dfrac{0{,}875+1{,}25}{2}=1{,}0625.
Calculo f(1{,}0625):
1{,}0625^3=1{,}197998046875,\quad 2\cdot 1{,}197998046875=2{,}39599609375,
f(1{,}0625)=2{,}39599609375-\cos(2{,}0625)-3 = -0{,}60400390625 -\cos(2{,}0625).
Com \cos(2{,}0625)\approx -0{,}468516,
f(1{,}0625)\approx -0{,}60400390625 -(-0{,}468516)\approx -0{,}13548790625<0.
Então a raiz está em [1{,}0625,\,1{,}25]. Atualizo:
[a_4,b_4]=[1{,}0625,\,1{,}25].

Passo 8

m_5=\dfrac{1{,}0625+1{,}25}{2}=1{,}15625.
Calculo f(1{,}15625):
1{,}15625^3\approx 1{,}5460205078125,\quad 2\cdot =3{,}092041015625,
f(1{,}15625)=3{,}092041015625 -\cos(2{,}15625)-3=0{,}092041015625 -\cos(2{,}15625).
Com \cos(2{,}15625)\approx -0{,}547,
f(1{,}15625)\approx 0{,}092041015625 -(-0{,}547)\approx 0{,}639041015625>0.
Sinal positivo agora, então a raiz está em [1{,}0625,\,1{,}15625]. Atualizo:
[a_5,b_5]=[1{,}0625,\,1{,}15625].

Passo 9

m_6=\dfrac{1{,}0625+1{,}15625}{2}=1{,}109375.
Calculo f(1{,}109375). Usando representação fracionária 1{,}109375=\dfrac{71}{64}
\left(\dfrac{71}{64}\right)^{3}=\dfrac{357911}{262144}\approx 1{,}365477085,
2\cdot 1{,}365477085=2{,}73095417,
f(1{,}109375)=2{,}73095417 -\cos(2{,}109375)-3 = -0{,}26904583 -\cos(2{,}109375).
Com \cos(2{,}109375)\approx -0{,}512936 (aproximação a partir de \cos(2{,}1)),
f(1{,}109375)\approx -0{,}26904583 -(-0{,}512936)\approx 0{,}24389017>0.
Sinal positivo, assim a raiz está em [1{,}0625,\,1{,}109375]. Atualizo:
[a_6,b_6]=[1{,}0625,\,1{,}109375].

Passo 10

m_7=\dfrac{1{,}0625+1{,}109375}{2}=1{,}0859375.
Calculo f(1{,}0859375). Com \,1{,}0859375=\dfrac{139}{128},
\left(\dfrac{139}{128}\right)^3\approx 1{,}280603,\quad 2\cdot \approx 2{,}561206,
f(1{,}0859375)=2{,}561206 -\cos(2{,}0859375)-3 = -0{,}438794 -\cos(2{,}0859375).
Com \cos(2{,}0859375)\approx -0{,}492706 (aproximação usando Taylor em torno de 2{,}1),
f(1{,}0859375)\approx -0{,}438794 -(-0{,}492706)\approx 0{,}053912>0.
Sinal positivo, então nova faixa: [1{,}0625,\,1{,}0859375]. Atualizo:
[a_7,b_7]=[1{,}0625,\,1{,}0859375].

Passo 11

m_8=\dfrac{1{,}0625+1{,}0859375}{2}=1{,}07421875.
Calculo f(1{,}07421875). Podemos estimar 1{,}07421875^3 pela média entre os cubos anteriores (valor aceitável para decidir sinal):
1{,}07421875^3\approx 1{,}2393\quad\Rightarrow\quad 2\cdot 1{,}2393\approx 2{,}4786,
f(1{,}07421875)\approx 2{,}4786 -\cos(2{,}07421875)-3 = -0{,}5214 -\cos(2{,}07421875).
Com \cos(2{,}07421875)\approx -0{,}482576,
f(1{,}07421875)\approx -0{,}5214 -(-0{,}482576)\approx -0{,}038824<0.
Agora f(m_8)<0, então a raiz está em [1{,}07421875,\,1{,}0859375]. Atualizo:
[a_8,b_8]=[1{,}07421875,\,1{,}0859375].

Passo 12

Condição de parada para a precisão \,0{,}01:
  • Após n iterações o erro máximo do ponto médio é \le\dfrac{b-a}{2^{n+1}}.
  • Com \,b-a=3 queremos \dfrac{3}{2^{n+1}}\le 0{,}01.
  • Isso dá 2^{n+1}\ge 300 e, portanto,
n+1 \ge \log_{2}(300)\approx 8{,}2288 \quad\Rightarrow\quad n\ge 7{,}2288,
ou seja o menor inteiro n que satisfaz é n=8.
Na prática fizemos 8 iterações e obtivemos o intervalo final
[a_8,b_8]=[1{,}07421875,\,1{,}0859375],
cujo comprimento é \,L_8=\dfrac{3}{2^{8}}=\dfrac{3}{256}=0{,}01171875.
A estimativa da raiz pelo ponto médio final é
r=\dfrac{1{,}07421875+1{,}0859375}{2}=1{,}080078125.
O erro máximo garantido é \le \dfrac{L_8}{2}=0{,}005859375<0{,}01, portanto a precisão \,0{,}01 foi alcançada com 8 iterações (menor que o máximo permitido de 10 passos).
Agora calculo quantos passos são necessários para precisão \,10^{-8}:
  • Quero \dfrac{3}{2^{n+1}}\le 10^{-8}. Então
2^{n+1}\ge \dfrac{3}{10^{-8}} = 3\times 10^{8}.
Tomo logaritmo base 2:
n+1 \ge \log_{2}(3\times 10^{8}) \approx \log_{2}(3) + 8\log_{2}(10)
\log_{2}(3)\approx 1{,}58496,\quad \log_{2}(10)\approx 3{,}32193
n+1 \approx 1{,}58496 + 8(3{,}32193)=1{,}58496+26{,}57544\approx 28{,}1604
\Rightarrow n \ge 27{,}1604.
O menor inteiro n que satisfaz é n=28. Assim são necessários, no mínimo, 28 iterações para garantir erro absoluto \le 10^{-8}.

Resposta

x \approx 1{,}08 (estimativa obtida após 8 iterações; erro máximo garantido <0{,}01)
28 passos (mínimo necessário para precisão 10^{-8})

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