Exercício 1.6. Calcular a raiz de
, pertencente ao intervalo
, com precisão de 0.01 usando o Método de Bisseção com no máximo 10 passos. Verifique quantos passos no mínimo são necessários para ter uma precisão de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a raiz da equação
que pertence ao intervalo usando o Método da Bisseção com precisão e realizando no máximo 10 passos. - Verificar quantos passos, no mínimo, são necessários para obter precisão
.
Informações dadas:
- Função a ser usada:
. - Intervalo inicial:
e . - Precisão desejada para a primeira parte:
. - Limite máximo de passos permitido:
. - Precisão para a segunda pergunta:
.
Passo 2
Breve explicação do Método da Bisseção (como funciona e notação):
- Supondo uma função contínua
e um intervalo com , existe pelo menos uma raiz em . - A cada iteração calcula-se o ponto médio
. Se acabou; se a raiz está em , senão está em . - Após
iterações o tamanho do intervalo é . Um limite seguro para o erro absoluto do ponto médio (estimativa da raiz) é metade do comprimento do intervalo: . - Logo, para garantir erro absoluto
basta tomar tal que
que é equivalente a
Aqui
.
Passo 3
Primeiro verifico sinal nos extremos para garantir existência de raiz em
.
Calculo
:
Logo
.
Calculo
:
Usando
(valor aproximado),
Como
, existe pelo menos uma raiz em
. Podemos aplicar a bisseção.
Passo 4
Intervalo inicial:
.
Ponto médio:
Avalio
:
Com
,
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está em
. Atualizo:
.
Passo 5
Calculo
:
Com
,
Sinal oposto ao de
, então a raiz está em
. Atualizo:
.
Passo 6
Calculo
:
Calculando
, então
Com
,
Logo a raiz fica em
. Atualizo:
.
Passo 7
Calculo
:
Com
,
Então a raiz está em
. Atualizo:
.
Passo 8
Calculo
:
Com
,
Sinal positivo agora, então a raiz está em
. Atualizo:
.
Passo 9
Calculo
. Usando representação fracionária
dá
Com
(aproximação a partir de
),
Sinal positivo, assim a raiz está em
. Atualizo:
.
Passo 10
Calculo
. Com
,
Com
(aproximação usando Taylor em torno de
),
Sinal positivo, então nova faixa:
. Atualizo:
.
Passo 11
Calculo
. Podemos estimar
pela média entre os cubos anteriores (valor aceitável para decidir sinal):
Com
,
Agora
, então a raiz está em
. Atualizo:
.
Passo 12
Condição de parada para a precisão
:
- Após
iterações o erro máximo do ponto médio é . - Com
queremos . - Isso dá
e, portanto,
ou seja o menor inteiro
que satisfaz é
.
Na prática fizemos
iterações e obtivemos o intervalo final
cujo comprimento é
.
A estimativa da raiz pelo ponto médio final é
A estimativa da raiz pelo ponto médio final é
O erro máximo garantido é
, portanto a precisão
foi alcançada com
iterações (menor que o máximo permitido de
passos).
Agora calculo quantos passos são necessários para precisão
:
- Quero
. Então
Tomo logaritmo base 2:
O menor inteiro
que satisfaz é
. Assim são necessários, no mínimo,
iterações para garantir erro absoluto
.