Seja
um inteiro não negativo. Prove que existem inteiros não negativos
e
tais que
e
.
Passo 1
O enunciado dá um inteiro não negativo
e pede para provar que existem inteiros não negativos
e
tais que
e
Ou seja, preciso mostrar que é possível decompor
em um quadrado perfeito
mais um resto
, com esse resto estritamente menor que
. As informações iniciais são apenas que
é inteiro e
.
Passo 2
Idéia principal (em palavras simples): escolher
como o maior inteiro cujo quadrado não ultrapassa
. Vou justificar que essa escolha existe e então definir
como a diferença entre
e
. Primeiro vou explicar por que existe um maior inteiro com essa propriedade.
Considere o conjunto
- O conjunto
é não vazio porque (pois ). - Além disso, todo
satisfaz , portanto . Logo , que é um conjunto finito.
Um subconjunto não vazio de um conjunto finito de inteiros tem um máximo. Logo existe um maior inteirotal que e, por maximalidade,
Essa é a justificativa rigorosa da existência de
.
Passo 3
Defina agora
e
Explico por que
é um inteiro não negativo e por que a igualdade
vale: como
, a diferença
é um inteiro com
. A igualdade
é apenas a definição de
. Portanto já garantimos que
e
são inteiros não negativos e que a decomposição pedida existe.
Passo 4
Agora vou provar a desigualdade
. Uso a desigualdade obtida pela maximalidade de
, que diz que
. Expando
:
Da desigualdade
obtemos
Subtraindo
dos dois lados,
Mas
pela definição de
. Assim
Isso demonstra exatamente a desigualdade que queríamos.
Passo 5
Resumo e verificação final: escolhemos
como o maior inteiro não negativo com
(essa escolha existe porque o conjunto dos tais inteiros é finito e não vazio). Definimos
. Então
e
são inteiros não negativos, satisfazem
, e pela maximalidade de
temos
, o que implica
. Portanto a propriedade pedida está provada.
Resposta
Escolha
e defina
. Então
,
e
.