Seja m um inteiro não negativo. Prove que existem inteiros não negativos p e r tais que m=p^{2}+r e r<2 p+1.

Passo 1

O enunciado dá um inteiro não negativo m e pede para provar que existem inteiros não negativos p e r tais que
m = p^{2} + r
e
r < 2p + 1.
Ou seja, preciso mostrar que é possível decompor m em um quadrado perfeito p^{2} mais um resto r, com esse resto estritamente menor que 2p+1. As informações iniciais são apenas que m é inteiro e m\ge 0.

Passo 2

Idéia principal (em palavras simples): escolher p como o maior inteiro cujo quadrado não ultrapassa m. Vou justificar que essa escolha existe e então definir r como a diferença entre m e p^{2}. Primeiro vou explicar por que existe um maior inteiro com essa propriedade.
Considere o conjunto
S=\{n\in\mathbb{Z}_{\ge 0} \mid n^{2}\le m\}.
  • O conjunto S é não vazio porque 0\in S (pois 0^{2}=0\le m).
  • Além disso, todo n\in S satisfaz n^{2}\le m, portanto n\le m. Logo S\subseteq\{0,1,2,\dots,m\}, que é um conjunto finito.
    Um subconjunto não vazio de um conjunto finito de inteiros tem um máximo. Logo existe um maior inteiro p tal que p\in S e, por maximalidade,
p^{2}\le m \quad\text{e}\quad (p+1)^{2}>m.
Essa é a justificativa rigorosa da existência de p.

Passo 3

Defina agora
p=\max\{n\in\mathbb{Z}_{\ge 0} \mid n^{2}\le m\}
e
r=m-p^{2}.
Explico por que r é um inteiro não negativo e por que a igualdade m=p^{2}+r vale: como p^{2}\le m, a diferença r=m-p^{2} é um inteiro com r\ge 0. A igualdade m=p^{2}+r é apenas a definição de r. Portanto já garantimos que p e r são inteiros não negativos e que a decomposição pedida existe.

Passo 4

Agora vou provar a desigualdade r<2p+1. Uso a desigualdade obtida pela maximalidade de p, que diz que (p+1)^{2}>m. Expando (p+1)^{2}:
(p+1)^{2}=p^{2}+2p+1.
Da desigualdade (p+1)^{2}>m obtemos
p^{2}+2p+1>m.
Subtraindo p^{2} dos dois lados,
2p+1>m-p^{2}.
Mas m-p^{2}=r pela definição de r. Assim
r < 2p+1.
Isso demonstra exatamente a desigualdade que queríamos.

Passo 5

Resumo e verificação final: escolhemos p como o maior inteiro não negativo com p^{2}\le m (essa escolha existe porque o conjunto dos tais inteiros é finito e não vazio). Definimos r=m-p^{2}. Então p e r são inteiros não negativos, satisfazem m=p^{2}+r, e pela maximalidade de p temos (p+1)^{2}>m, o que implica r<2p+1. Portanto a propriedade pedida está provada.

Resposta

Escolha p=\max\{n\in\mathbb{Z}_{\ge 0}\mid n^{2}\le m\} e defina r=m-p^{2}. Então p,r\in\mathbb{Z}_{\ge 0}, m=p^{2}+r e r<2p+1.

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