Exercício 4. Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares. Precisamos usar a transformação
com Jacobiano
, e descrever a região de integração (um disco de raio 1) em
.
Passo 2
A região
é o disco de raio 1 centrado na origem. Em coordenadas polares isso vira
Passo 3
Substituindo
,
e os limites acima, a integral passa a ser
Passo 4
Primeiro integramos em
. Note que
é uma integral imediata via substituição
,
. Logo,
Passo 5
Agora integramos em
, que é trivial:
Multiplicando tudo,