Exercício 4. Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 e^-(x^2+y^2) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-1^1integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2e^-(x^2+y^2),dx,dy
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares. Precisamos usar a transformação
x = rcostheta, y = rsintheta,
com Jacobiano r, e descrever a região de integração (um disco de raio 1) em (r,theta).

Passo 2

A região
(x,y)mid x^2+y^2<=1
é o disco de raio 1 centrado na origem. Em coordenadas polares isso vira
0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi

Passo 3

Substituindo x^2+y^2=r^2, dx,dy = r,dr,dtheta e os limites acima, a integral passa a ser
integral0^2piintegral0^1e^-r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em r. Note que
integral0^1r,e^-r^2,dr
é uma integral imediata via substituição u=r^2, du=2r,dr. Logo,
integral0^1r,e^-r^2,dr =12integral0^1e^-u,du =12l[-e^-ur]0^1 =12l(1-e^-1r)

Passo 5

Agora integramos em theta, que é trivial:
integral0^2pidtheta = 2pi
Multiplicando tudo,
integral0^2piintegral0^1r,e^-r^2,dr,dtheta =2picdot12l(1-e^-1r) =pil(1-e^-1r)

Resposta

pil(1 - e^-1r)

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