Resolva a equação.
(d)
ddotx-10 dotx+25=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo
ddotx-10,dotx+25=0
O método é dividir em parte homogênea (usando equação característica) e parte particular (coeficientes indeterminados).

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea, desprezamos o termo constante 25 e obtemos
ddotx-10,dotx=0
A equação característica é
r^2-10r=0,
cuja solução é r(r-10)=0, ou seja, r=0 e r=10. Logo a solução geral da homogênea é
xh(t)=C1 + C2 e^10t,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para achar uma solução particular xp(t) de
ddotx-10,dotx+25=0
usamos o palpite polinomial de grau 1:
xp(t)=A,t+B
Então
dotxp(t)=A, ddotxp(t)=0
Substituindo na equação original:
0 -10,A +25=0 Longrightarrow A=2510=52
O termo B pode ser absorvido em C1, então podemos tomar B=0.

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
x(t)=xh(t)+xp(t) = C1 + C2 e^10t + 52,t

Resposta

x(t)=C1 + C2 e^10t + 52,t,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

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