1. Use Simpson’s Rule with n=10 to estimate the length of the ellipse x^2+4 y^2=4.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos estimar o comprimento da elipse definida por
x^2+4y^2=4
Usaremos comprimento de arco de curvas paramétricas e aplicaremos a Regra de Simpson com n=10.

Passo 2

Parametrizamos a elipse por
x(t)=2cos t, y(t)=sin t, tin[0,2pi]
As derivadas são
x'(t)=-2sin t, y'(t)=cos t,
logo o elemento de comprimento é
raiz(x')^2+(y')^2 =raiz4sin^2t+cos^2t =raiz1+3sin^2t,

Passo 3

Pela periodicidade e simetria,
L=integral0^2piraiz1+3sin^2t,dt =4integral0^pi/2raiz1+3sin^2t,dt
Definimos
f(t)=raiz1+3sin^2t
e vamos estimar
I=integral0^pi/2f(t),dt
por Simpson com n=10.

Passo 4

O passo é
h=pi/2-010=pi20
A Regra de Simpson dá
Iapprox S=h3l[f(t0) +4sumk ímparf(tk) +2sumk par,,kneq0,10f(tk) +f(t10)r], í
onde tk=k,h, k=0,1,dots,10.

Passo 5

Calculamos f(tk)=raiz1+3sin^2(k,h) para k=0,dots,10:
f0=1.0000,
f1=1.0366,
f2=1.1342,
f3=1.2721,
f4=1.4280,
f5=1.5811,
f6=1.7219,
f7=1.8384,
f8=1.9277,
f9=1.9816,
f10=2.0000
Então
sumk ímparfk =7.7097, sumk par,,kneq0,10fk =6.2118 í
Logo
S=pi/203l[1+2+4cdot7.7097+2cdot6.2118r] =pi60times46.2623approx2.4222

Passo 6

Retornando ao comprimento total da elipse:
Lapprox4,S =4times2.4222 approx9.6888

Resposta

O comprimento da elipse é aproximadamente 9,689.

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