star(5) A segunda derivada direcional de f(x, y) na direção do vetor u=(a, b) é definida por
Du^2 f(x, y)=Du[Du f(x, y)]
(a) Se f(x, y)=x^3+5 x^2 y+y^3 e u=(3,4), calcule Du^2 f(2,1) (sem usar o item (b)).
(b) Mostre que, se f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas,
Du^2 f(x, y)=a^2 fx x(x, y)+2 a b fx y(x, y)+b^2 fy y(x, y)
(c) Use o item anterior para calcular a segunda derivada direcional de f(x, y)=x e^2 y no ponto (2,0) e na direção do vetor u=(4,6).

Passo 1

O enunciado define a segunda derivada direcional como
Du^2f(x,y)=Dul[Duf(x,y)r]
onde Duf é a derivada direcional de f na direção do vetor u=(a,b). Precisamos de derivadas parciais de primeira e segunda ordem e da regra da cadeia para funções de duas variáveis. Resolveremos (a) direto pela definição, (b) mostrando a forma em função da matriz Hessiana e (c) usando o resultado de (b).

Passo 2

Para (a), seja
f(x,y)=x^3+5x^2y+y^3, u=(3,4)
Primeiro computamos as parciais de primeira ordem:
fx(x,y)=3x^2+10xy, fy(x,y)=5x^2+3y^2
Logo a derivada direcional Duf (sem normalizar u) é
Duf(x,y)=3,fx(x,y)+4,fy(x,y) =3(3x^2+10xy)+4(5x^2+3y^2) =29x^2+30xy+12y^2
Agora aplicamos novamente Du a essa expressão. As derivadas parciais de 29x^2+30xy+12y^2 são
partialpartial x(29x^2+30xy+12y^2) =58x+30y, partialpartial y(29x^2+30xy+12y^2) =30x+24y
Portanto
Du^2f(x,y) =3(58x+30y)+4(30x+24y) =294x+186y
Em (2,1) isso vale
Du^2f(2,1)=294cdot2+186cdot1=588+186=774

Passo 3

Para (b), partimos de
Duf(x,y)=a,fx(x,y)+b,fy(x,y)
Aplicando Du de novo, usando a regra da cadeia,
Du^2f(x,y) =apartialpartial xl(a fx+b fyr) +bpartialpartial yl(a fx+b fyr)
Como
partialpartial x(a fx+b fy)=a fxx+b fxy, partialpartial y(a fx+b fy)=a fxy+b fyy,
segue-se
Du^2f(x,y) =a(a fxx+b fxy)+b(a fxy+b fyy) =a^2fxx+2ab,fxy+b^2fyy

Passo 4

Para (c), seja
f(x,y)=x e^2y, u=(4,6),(a,b)=(4,6)
Calculamos as derivadas necessárias:
fx=e^2y, fy=2x e^2y,
fxx=0, fxy=partialpartial ye^2y=2e^2y, fyy=partialpartial y(2x e^2y)=4x e^2y
Pela fórmula de (b),
Du^2f(2,0) =4^2cdot0+2cdot4cdot6cdotl(2e^0r) +6^2cdotl(4cdot2,e^0r) =0+96+288=384

Resposta

(a) 774
(b) Du^2f(x,y)=a^2fxx(x,y)+2ab,fxy(x,y)+b^2fyy(x,y)
(c) 384

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