A segunda derivada direcional de
na direção do vetor
é definida por
(a) Se
e
, calcule
(sem usar o item (b)).
(b) Mostre que, se
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas,
(c) Use o item anterior para calcular a segunda derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
(b) Mostre que, se
Passo 1
O enunciado define a segunda derivada direcional como
onde
é a derivada direcional de
na direção do vetor
. Precisamos de derivadas parciais de primeira e segunda ordem e da regra da cadeia para funções de duas variáveis. Resolveremos (a) direto pela definição, (b) mostrando a forma em função da matriz Hessiana e (c) usando o resultado de (b).
Passo 2
Para (a), seja
Primeiro computamos as parciais de primeira ordem:
Logo a derivada direcional
(sem normalizar
) é
Agora aplicamos novamente
a essa expressão. As derivadas parciais de
são
Portanto
Em
isso vale
Passo 3
Para (b), partimos de
Aplicando
de novo, usando a regra da cadeia,
Como
segue-se
Passo 4
Para (c), seja
Calculamos as derivadas necessárias:
Pela fórmula de (b),
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)