Exercício 0.1 Demonstre as seguintes propriedades de números complexos. \left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a igualdade
\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|},
onde z e w são números complexos. Informação importante que não está explícita no enunciado mas é necessária: a divisão por w está bem definida, portanto devemos assumir que w\neq 0.
Resumo das informações dadas:
z é um número complexo qualquer.
w é um número complexo com w\neq 0.
Tem-se que provar a igualdade entre o módulo do quociente e o quociente dos módulos.
Passo 2
Relembrando definições e propriedades básicas que vamos usar (com explicação simples):
Para um número complexo u, a sua conjugada é denotada por \overline{u}. Se u=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, então \overline{u}=x-iy.
O módulo de u é definido por
|u|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Uma identidade útil equivalente é
|u|^{2}=u\,\overline{u}.
Explicação: multiplicando u=x+iy por \overline{u}=x-iy obtém-se x^{2}+y^{2}, que é |u|^{2}.
Passo 3
Propriedades algébricas da conjugada que usaremos:
Para quaisquer números complexos a e b vale \overline{ab}=\overline{a}\,\overline{b}.
Se b\neq 0, então \overline{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\overline{a}}{\overline{b}}.
Justificativa rápida: escrever a/b como a\cdot b^{-1} e aplicar \overline{b^{-1}}=(\overline{b})^{-1}, que vem da relação b b^{-1}=1 passando para conjugadas.
Passo 4
Começamos a manipular o quadrado do módulo do quociente, porque |u|^{2}=u\overline{u} é uma forma muito prática:
Como ambos os lados são números não-negativos (módulos são não-negativos), podemos tirar raiz quadrada em ambos os lados preservando a igualdade. Assim:
Observação sobre o passo da raiz: a raiz quadrada de um número não-negativo é única e não-negativa, e os módulos são não-negativos, então não há ambiguidade de sinal.
Passo 8
Comentário alternativo (intuitivo, opcional): escrevendo z e w em forma polar z=r e^{i\theta}, w=s e^{i\varphi} com r=|z|, s=|w| e s>0, obtém-se
\frac{z}{w}=\frac{r}{s}e^{i(\theta-\varphi)},
logo o módulo de \dfrac{z}{w} é \dfrac{r}{s}=\dfrac{|z|}{|w|}. Isso dá a mesma conclusão de forma direta e geométrica.