Exercício 0.1 Demonstre as seguintes propriedades de números complexos.
\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a igualdade
\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|},
onde z e w são números complexos. Informação importante que não está explícita no enunciado mas é necessária: a divisão por w está bem definida, portanto devemos assumir que w\neq 0.
Resumo das informações dadas:
  • z é um número complexo qualquer.
  • w é um número complexo com w\neq 0.
  • Tem-se que provar a igualdade entre o módulo do quociente e o quociente dos módulos.

Passo 2

Relembrando definições e propriedades básicas que vamos usar (com explicação simples):
  • Para um número complexo u, a sua conjugada é denotada por \overline{u}. Se u=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, então \overline{u}=x-iy.
  • O módulo de u é definido por
|u|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Uma identidade útil equivalente é
|u|^{2}=u\,\overline{u}.
Explicação: multiplicando u=x+iy por \overline{u}=x-iy obtém-se x^{2}+y^{2}, que é |u|^{2}.

Passo 3

Propriedades algébricas da conjugada que usaremos:
  • Para quaisquer números complexos a e b vale \overline{ab}=\overline{a}\,\overline{b}.
  • Se b\neq 0, então \overline{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\overline{a}}{\overline{b}}.
    Justificativa rápida: escrever a/b como a\cdot b^{-1} e aplicar \overline{b^{-1}}=(\overline{b})^{-1}, que vem da relação b b^{-1}=1 passando para conjugadas.

Passo 4

Começamos a manipular o quadrado do módulo do quociente, porque |u|^{2}=u\overline{u} é uma forma muito prática:
\left|\frac{z}{w}\right|^{2}=\left(\frac{z}{w}\right)\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}.
Aqui usamos a identidade |u|^{2}=u\overline{u} com u=\dfrac{z}{w}.

Passo 5

Aplicando a propriedade da conjugada de quociente (Passo 3) na expressão do Passo 4:
\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}},
logo
\left|\frac{z}{w}\right|^{2}=\left(\frac{z}{w}\right)\left(\frac{\overline{z}}{\overline{w}}\right).
Multiplicando frações:
\left|\frac{z}{w}\right|^{2}=\frac{z\,\overline{z}}{w\,\overline{w}}.

Passo 6

Reconhecemos numerador e denominador como quadrados dos módulos, pelo Passo 2:
z\,\overline{z}=|z|^{2}\quad\text{e}\quad w\,\overline{w}=|w|^{2}.
Substituindo na expressão do Passo 5:
\left|\frac{z}{w}\right|^{2}=\frac{|z|^{2}}{|w|^{2}}.

Passo 7

Como ambos os lados são números não-negativos (módulos são não-negativos), podemos tirar raiz quadrada em ambos os lados preservando a igualdade. Assim:
\left|\frac{z}{w}\right|=\sqrt{\frac{|z|^{2}}{|w|^{2}}=\left(\frac{|z|}{|w|}\right)^{2}}=\frac{|z|}{|w|}.
Observação sobre o passo da raiz: a raiz quadrada de um número não-negativo é única e não-negativa, e os módulos são não-negativos, então não há ambiguidade de sinal.

Passo 8

Comentário alternativo (intuitivo, opcional): escrevendo z e w em forma polar z=r e^{i\theta}, w=s e^{i\varphi} com r=|z|, s=|w| e s>0, obtém-se
\frac{z}{w}=\frac{r}{s}e^{i(\theta-\varphi)},
logo o módulo de \dfrac{z}{w} é \dfrac{r}{s}=\dfrac{|z|}{|w|}. Isso dá a mesma conclusão de forma direta e geométrica.

Resposta

\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}

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