Uma investigação sobre hábitos de estudo foi conduzida entre estudantes universitários de segundo período. Ao todo, 80 estudantes responderam o formulário da investigação. Duas das variáveis investigadas foram resumidas na Tabela 1.
Tabela 1: Tabela de Dupla Entrada das Variáveis Grupo de idade (A: 20 anos ou menos e B: 21 anos ou mais) e Intensidade de leitura de livros ao longo do ano (Fraca (até 3 livros por ano), Regular (de 4 a 9 livros por ano), Boa (10 ou mais livros por ano)).
Grupo de idade
Intensidade de leitura
Total
Fraca
Regular
Boa
20 anos ou menos
28
8
4
40
21 anos ou mais
16
16
8
40
Total
44
24
12
80
Suponha que a Tabela 1 tenha sido publicada de forma incompleta, informando apenas os totais marginais como na Tabela 2.
Tabela 2: Tabela de dupla entrada incompleta
Grupo de idade
Fraca
Regular
Boa
Total
20 anos ou menos
40
21 anos ou mais
40
Total
44
24
12
80
De quantas formas diferentes é possível completar a Tabela 2, respeitando-se os totais marginais?
A) 13
B) 44
C) 288
D) 325
E) 585
Grupo de idade | Intensidade de leitura | Total | ||
Fraca | Regular | Boa | ||
20 anos ou menos | 28 | 8 | 4 | 40 |
21 anos ou mais | 16 | 16 | 8 | 40 |
Total | 44 | 24 | 12 | 80 |
Grupo de idade | Fraca | Regular | Boa | Total |
20 anos ou menos | 40 | |||
21 anos ou mais | 40 | |||
Total | 44 | 24 | 12 | 80 |
A) 13
B) 44
C) 288
D) 325
E) 585
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos completar uma tabela
cujos totais marginais já estão dados. As somas das linhas são
e as somas das colunas são
O objetivo é contar de quantas maneiras podemos preencher cada célula com números inteiros não negativos respeitando esses totais.
Passo 2
Denotemos as entradas da primeira linha por
(Fraca),
(Regular) e
(Boa).
Elas devem satisfazer
Elas devem satisfazer
com as “poeiras” de coluna impondo
A segunda linha é determinada automaticamente por
.
Passo 3
Observamos que:
- A condição
é sempre satisfeita pois . - A soma
atinge no máximo , logo
, garantindo .
Portanto não há restrição adicional: basta escolher livremente
Passo 4
O número de pares inteiros
possíveis é
Cada par determina um único
admissível.
Resposta
D)