Uma investigação sobre hábitos de estudo foi conduzida entre estudantes universitários de segundo período. Ao todo, 80 estudantes responderam o formulário da investigação. Duas das variáveis investigadas foram resumidas na Tabela 1.
Tabela 1: Tabela de Dupla Entrada das Variáveis Grupo de idade (A: 20 anos ou menos e B: 21 anos ou mais) e Intensidade de leitura de livros ao longo do ano (Fraca (até 3 livros por ano), Regular (de 4 a 9 livros por ano), Boa (10 ou mais livros por ano)).
Grupo de idade Intensidade de leitura Total
Fraca Regular Boa
20 anos ou menos 28 8 4 40
21 anos ou mais 16 16 8 40
Total 44 24 12 80
Suponha que a Tabela 1 tenha sido publicada de forma incompleta, informando apenas os totais marginais como na Tabela 2.
Tabela 2: Tabela de dupla entrada incompleta
Grupo de idade Fraca Regular Boa Total
20 anos ou menos 40
21 anos ou mais 40
Total 44 24 12 80
De quantas formas diferentes é possível completar a Tabela 2, respeitando-se os totais marginais?
A) 13
B) 44
C) 288
D) 325
E) 585

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos completar uma tabela 2\times3 cujos totais marginais já estão dados. As somas das linhas são
40,\quad 40
e as somas das colunas são
44,\quad 24,\quad 12.
O objetivo é contar de quantas maneiras podemos preencher cada célula com números inteiros não negativos respeitando esses totais.

Passo 2

Denotemos as entradas da primeira linha por \;x_1 (Fraca), \;x_2 (Regular) e \;x_3 (Boa).
Elas devem satisfazer
x_1 + x_2 + x_3 = 40,
com as “poeiras” de coluna impondo
0 \le x_1 \le 44,\quad 0 \le x_2 \le 24,\quad 0 \le x_3 \le 12.
A segunda linha é determinada automaticamente por 44-x_1,\;24-x_2,\;12-x_3.

Passo 3

Observamos que:
  • A condição x_1\le44 é sempre satisfeita pois x_1\le40<44.
  • A soma x_2+x_3 atinge no máximo 24+12=36, logo
    \;x_1=40-(x_2+x_3)\ge40-36=4, garantindo x_1\ge0.
    Portanto não há restrição adicional: basta escolher livremente
x_2\in\{0,1,\dots,24\},\quad x_3\in\{0,1,\dots,12\}.

Passo 4

O número de pares inteiros (x_2,x_3) possíveis é
(24+1)\times(12+1) = 25 \times 13 = 325.
Cada par determina um único x_1=40-x_2-x_3 admissível.

Resposta

D) 325

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