Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x y} x d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{xy}x\,dz\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é integração iterada: vamos integrar primeiro em z, depois em y e finalmente em x.

Passo 2

Calcular a integral interna em z, tratando x e y como constantes:
\int_{0}^{xy}x\,dz = x\bigl[z\bigr]_{0}^{xy} = x\,(xy) = x^{2}y.

Passo 3

Substituindo na integral em y, temos
\int_{0}^{x}x^{2}y\,dy = x^{2}\int_{0}^{x}y\,dy = x^{2}\,\bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{0}^{x} = x^{2}\cdot\tfrac{x^{2}}{2} = \tfrac{x^{4}}{2}.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}\tfrac{x^{4}}{2}\,dx = \tfrac{1}{2}\,\bigl[\tfrac{x^{5}}{5}\bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{5} = \tfrac{1}{10}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{10}

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