Exercício 1.1 Calcule cada uma das seguintes integrais duplas sobre os retângulos indicados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla da função $ 2x - 4y^{3} $ sobre o retângulo $ R = [-5, 4] \times [0, 3] $. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente das integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas sobre regiões retangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração $ R = [-5, 4] \times [0, 3] $. Isso significa que $ x $ varia de -5 a 4 e $ y $ varia de 0 a 3. Como é um retângulo, podemos integrar em qualquer ordem, mas vamos escolher integrar primeiro em $ x $ e depois em $ y $.
Passo 3
A integral dupla pode ser escrita como:
Aqui, $ dA $ representa o elemento de área, que no caso de integração sobre um retângulo é simplesmente $ dx , dy $.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a $ x $:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 5
Calculando a primeira integral:
Aplicando os limites de -5 a 4:
Passo 6
Calculando a segunda integral:
Aplicando os limites de -5 a 4:
Passo 7
Subtraindo as duas partes:
Então, a integral interna resulta em $ -9 - 36y^{3} $.
Passo 8
Agora, precisamos integrar isso em relação a $ y $:
Vamos separar novamente:
Passo 9
Calculando cada parte:
Passo 10
Somando os resultados:
Resposta
O valor da integral dupla é $ -756 $.