Exercício 1.1 Calcule cada uma das seguintes integrais duplas sobre os retângulos indicados.
integral duplaR 2 x-4 y^3 d A, R=[-5,4] times[0,3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla da função $ 2x - 4y^{3} $ sobre o retângulo $ R = [-5, 4] \times [0, 3] $. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente das integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas sobre regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração $ R = [-5, 4] \times [0, 3] $. Isso significa que $ x $ varia de -5 a 4 e $ y $ varia de 0 a 3. Como é um retângulo, podemos integrar em qualquer ordem, mas vamos escolher integrar primeiro em $ x $ e depois em $ y $.

Passo 3

A integral dupla pode ser escrita como:
integral duplaR (2x - 4y^3) , dA = integraly=0^3 integralx=-5^4 (2x - 4y^3) , dx , dy
Aqui, $ dA $ representa o elemento de área, que no caso de integração sobre um retângulo é simplesmente $ dx , dy $.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a $ x $:
x
Podemos separar essa integral em duas partes:
integralx=-5^4 (2x - 4y^3) , dx

Passo 5

Calculando a primeira integral:
integral 2x , dx = x^2 + C
Aplicando os limites de -5 a 4:
(4)^2 - (-5)^2 = 16 - 25 = -9

Passo 6

Calculando a segunda integral:
integral 4y^3 , dx = 4y^3x + C
Aplicando os limites de -5 a 4:
4y^3(4) - 4y^3(-5) = 16y^3 + 20y^3 = 36y^3

Passo 7

Subtraindo as duas partes:
-9 - 36y^3
Então, a integral interna resulta em $ -9 - 36y^{3} $.

Passo 8

Agora, precisamos integrar isso em relação a $ y $:
y
Vamos separar novamente:
integral0^3 (-9 - 36y^3) , dy

Passo 9

Calculando cada parte:
-9 integral dy = -9y |0^3 = -9(3) + 9(0) = -27
-36 integral y^3 , dy = -36 ( y^44 ) |0^3 = -36 ( 814 - 0 ) = -36 times 814 = -729

Passo 10

Somando os resultados:
-27 - 729 = -756

Resposta

O valor da integral dupla é $ -756 $.

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