Exercício 1.1 Calcule cada uma das seguintes integrais duplas sobre os retângulos indicados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular uma integral dupla sobre um retângulo R, que vai de x = -2 a x = -1 e de y = 0 a y = 1. A função que a gente vai integrar é $ x^{2} y^{2} + \cos(\pi x) + \sin(\pi y) $. Vamos precisar usar o conceito de integrais duplas e saber como integrar cada termo separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre um retângulo significa que a gente vai integrar em duas etapas: uma em relação a x e outra em relação a y. Então, nossa integral fica assim:
Vamos resolver cada parte dentro da integral separadamente.
Passo 3
Vamos começar integrando com respeito a x. A função tem três partes:
- $ x^{2} y^{2} $
- $ \cos(\pi x) $
- $ \sin(\pi y) $
O interessante aqui é que $ \sin(\pi y) $ é uma constante em relação a x, então sua integral em x será simplesmente $ \sin(\pi y) $ multiplicada pelo comprimento do intervalo de x.
Passo 4
Vamos integrar cada termo:
-
$ \int_{-2}^{-1} x^{2} y^{2} dx = y^{2} \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{-2}^{-1} = y^{2} \left( \frac{(-1)^{3}}{3} - \frac{(-2)^{3}}{3} \right) = y^{2} \left( \frac{-1}{3} - \frac{-8}{3} \right) = y^{2} \left( \frac{7}{3} \right) $
-
$ \int_{-2}^{-1} \cos(\pi x) dx = \left[ \frac{\sin(\pi x)}{\pi} \right]_{-2}^{-1} = \frac{\sin(-\pi)}{\pi} - \frac{\sin(-2\pi)}{\pi} = \frac{0}{pi} - \frac{0}{pi} = 0 $
-
$ \int_{-2}^{-1} \sin(\pi y) dx = \sin(\pi y) \cdot ( -1 - (-2) ) = \sin(\pi y) \cdot 1 = \sin(\pi y) $
Passo 5
Agora, juntando tudo, nossa integral dupla fica:
Vamos integrar essa expressão em relação a y.
Passo 6
Integramos cada termo novamente:
-
$ \int_{0}^{1} \frac{7}{3} y^{2} dy = \frac{7}{3} \left[ \frac{y^{3}}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{9} $
-
$ \int_{0}^{1} \sin(\pi y) dy = \left[ -\frac{\cos(\pi y)}{\pi} \right]_{0}^{1} = -\frac{\cos(\pi)}{\pi} + \frac{\cos(0)}{\pi} = -\frac{-1}{\pi} + \frac{1}{\pi} = \frac{2}{\pi} $
Passo 7
Somando os resultados das integrais:
Esse é o valor final da nossa integral dupla.
Resposta
A integral dupla vale
.