Let f(x)=x^1 / x, for x>0.
Find and classify all critical points of f. Determine the intervals on which f is increasing, and those on which it is decreasing.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde a função é $ f(x) = x^{1/x} $ para $ x > 0 $. O que precisamos fazer aqui é encontrar os pontos críticos dessa função, classificar esses pontos (ou seja, ver se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão) e descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função $ f(x) = x^{1/x} $. Para facilitar, podemos reescrever a função usando logaritmos, pois derivar funções no formato $ a^b $ pode ser complicado diretamente.
Vamos definir $ y = x^{1/x} $. Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
f(x) = x^1/x
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $. Lembrando que $ \frac{dy}{dx} = y’ $:
a^b

Passo 3

Vamos derivar $ \frac{\ln(x)}{x} $ usando a regra do quociente:
ln(x)x
Então, temos:
ddx ( ln(x)x ) = 1 cdot x - ln(x) cdot 1x^2 = x - ln(x)x^2
Multiplicando ambos os lados por $ y $:
y'y = x - ln(x)x^2

Passo 4

Agora que temos a expressão para $ f’(x) $, vamos encontrar os pontos críticos. Os pontos críticos ocorrem onde $ f’(x) = 0 $ ou onde a derivada não existe.
Como $ x^{1/x} $ é sempre positivo para $ x > 0 $, a derivada será zero quando o numerador $ x - \ln(x) = 0 $. Então, resolvemos:
f'(x)
Essa equação não é fácil de resolver algebricamente, mas sabemos que $ x = 1 $ satisfaz, porque $ \ln(1) = 0 $ e $ 1 - 0 = 1 $, o que não zero. Vamos verificar numericamente:
Parece que há um ponto crítico próximo a $ x = e $ (onde $ e $ é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828), já que $ \ln(e) = 1 $ e $ e - 1 $ é positivo.
Na verdade, a única solução real dessa equação ocorre em $ x = e $, onde a derivada muda de sinal.

Passo 5

Vamos analisar o sinal da derivada $ f’(x) $ para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Para $ x < e $:
    • $ x - \ln(x) > 0 $ porque $ x $ cresce mais rápido que $ \ln(x) $.
    • Então, $ f’(x) > 0 $. A função está crescendo.
  • Para $ x > e $:
    • $ x - \ln(x) > 0 $ ainda, mas a potência $ 1/x $ diminui, fazendo a derivada tender a zero.
    • Ainda assim, a função continua crescendo, mas em um ritmo menor.
No entanto, analisando mais de perto, percebemos que a derivada é sempre positiva para $ x > 0 $, exceto em $ x = e $, onde a derivada é zero. Assim, $ x = e $ é um ponto de máximo local.

Resposta

A função $ f(x) = x^{1/x} $ tem um ponto crítico em $ x = e $. Nesse ponto, a função atinge um máximo local. A função está crescendo em todo o intervalo $ (0, \infty) $, com um ponto de máximo em $ x = e $.

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