Let
, for
.
Find and classify all critical points of
. Determine the intervals on which
is increasing, and those on which it is decreasing.
Find and classify all critical points of
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde a função é $ f(x) = x^{1/x} $ para $ x > 0 $. O que precisamos fazer aqui é encontrar os pontos críticos dessa função, classificar esses pontos (ou seja, ver se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão) e descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função $ f(x) = x^{1/x} $. Para facilitar, podemos reescrever a função usando logaritmos, pois derivar funções no formato $ a^b $ pode ser complicado diretamente.
Vamos definir $ y = x^{1/x} $. Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $. Lembrando que $ \frac{dy}{dx} = y’ $:
Passo 3
Vamos derivar $ \frac{\ln(x)}{x} $ usando a regra do quociente:
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por $ y $:
Passo 4
Agora que temos a expressão para $ f’(x) $, vamos encontrar os pontos críticos. Os pontos críticos ocorrem onde $ f’(x) = 0 $ ou onde a derivada não existe.
Como $ x^{1/x} $ é sempre positivo para $ x > 0 $, a derivada será zero quando o numerador $ x - \ln(x) = 0 $. Então, resolvemos:
Essa equação não é fácil de resolver algebricamente, mas sabemos que $ x = 1 $ satisfaz, porque $ \ln(1) = 0 $ e $ 1 - 0 = 1 $, o que não zero. Vamos verificar numericamente:
Parece que há um ponto crítico próximo a $ x = e $ (onde $ e $ é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828), já que $ \ln(e) = 1 $ e $ e - 1 $ é positivo.
Na verdade, a única solução real dessa equação ocorre em $ x = e $, onde a derivada muda de sinal.
Passo 5
Vamos analisar o sinal da derivada $ f’(x) $ para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
-
Para $ x < e $:
- $ x - \ln(x) > 0 $ porque $ x $ cresce mais rápido que $ \ln(x) $.
- Então, $ f’(x) > 0 $. A função está crescendo.
-
Para $ x > e $:
- $ x - \ln(x) > 0 $ ainda, mas a potência $ 1/x $ diminui, fazendo a derivada tender a zero.
- Ainda assim, a função continua crescendo, mas em um ritmo menor.
No entanto, analisando mais de perto, percebemos que a derivada é sempre positiva para $ x > 0 $, exceto em $ x = e $, onde a derivada é zero. Assim, $ x = e $ é um ponto de máximo local.
Resposta
A função $ f(x) = x^{1/x} $ tem um ponto crítico em $ x = e $. Nesse ponto, a função atinge um máximo local. A função está crescendo em todo o intervalo $ (0, \infty) $, com um ponto de máximo em $ x = e $.