Exercício 1.1 Calcule cada uma das seguintes integrais duplas sobre os retângulos indicados.
integral duplaR 6 x y^2 d A, R=[2,4] times[1,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular uma integral dupla sobre um retângulo específico. O problema é sobre integrais duplas, uma ferramenta que usamos para encontrar o volume sob uma superfície dentro de uma região definida. Aqui, a função que vamos integrar é 6xy^2 e a região R é o retângulo [2,4] times [1,2]. Para resolver, precisamos saber como configurar e calcular integrais duplas sobre retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração R = [2,4] times [1,2]. Isso significa que x varia de 2 a 4 e y varia de 1 a 2. Então, nossa integral dupla será:
integral duplaR 6xy^2 , dA = integralx=2^4 integraly=1^2 6xy^2 , dy , dx

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a y. Trate x como uma constante durante essa integração. A integral interna é:
integral1^2 6xy^2 , dy
A integral de y^2 em relação a y é y^33, então:
6x integral1^2 y^2 , dy = 6x [ y^33 ]1^2 = 6x ( 2^33 - 1^33 ) = 6x ( 83 - 13 ) = 6x ( 73 ) = 14x

Passo 4

Agora, precisamos integrar o resultado obtido ( 14x) em relação a x de 2 a 4:
integral2^4 14x , dx
A integral de x em relação a x é x^22, então:
14 integral2^4 x , dx = 14 [ x^22 ]2^4 = 14 ( 4^22 - 2^22 ) = 14 ( 162 - 42 ) = 14 (8 - 2) = 14 times 6 = 84

Resposta

O valor da integral dupla é 84.

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