Exercício 1.1 Calcule cada uma das seguintes integrais duplas sobre os retângulos indicados.
integral duplaR 1(2 x+3 y)^2 d A, R=[0,1] times[1,2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma integral dupla pra resolver: integral duplaR 1(2x + 3y)^2 , dA, onde a região R é o retângulo [0,1] times [1,2]. Isso faz parte do estudo de integrais duplas no cálculo multivariável. O que a gente vai precisar aqui é saber como integrar funções de duas variáveis dentro de um retângulo, passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração R = [0,1] times [1,2]. Isso significa que x varia de 0 a 1 e y varia de 1 a 2. Nossa integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada:
integral0^1 integral1^2 1(2x + 3y)^2 , dy , dx

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a y. Para isso, fazemos uma substituição para simplificar a integral. Seja u = 2x + 3y. Derivando ambos os lados em relação a y, temos du/dy = 3, então dy = du/3.
Substituindo na integral:
integral1^2 1(2x + 3y)^2 , dy = integralu(1)^u(2) 1u^2 cdot du3 = 13 integral2x + 3^2x + 6 u^-2 , du

Passo 4

Agora, vamos integrar u^-2:
13 integral2x + 3^2x + 6 u^-2 , du = 13 [ -1u ]2x + 3^2x + 6 = 13 ( -12x + 6 + 12x + 3 )
Simplificando:
13 ( 12x + 3 - 12x + 6 )

Passo 5

Agora, vamos integrar isso em relação a x:
integral0^1 13 ( 12x + 3 - 12x + 6 ) , dx = 13 ( integral0^1 12x + 3 , dx - integral0^1 12x + 6 , dx )
Para integrar 12x + a, fazemos uma substituição u = 2x + a, então integral 12x + a , dx = 12 ln|2x + a|.
Aplicando isso:
13 ( 12 ln(2x + 3) g|0^1 - 12 ln(2x + 6) g|0^1 )

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
Para ln(2x + 3) de 0 a 1:
ln(5) - ln(3)
Para ln(2x + 6) de 0 a 1:
ln(8) - ln(6)
Substituindo de volta:
13 ( 12 (ln(5) - ln(3)) - 12 (ln(8) - ln(6)) ) = 16 ( ln(53) - ln(86) )
Simplificando os logaritmos:
16 ln(5/34/3) = 16 ln(54)

Resposta

A integral dupla vale 16 ln(54).

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