Exercício 1.1 Calcule cada uma das seguintes integrais duplas sobre os retângulos indicados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma integral dupla pra resolver: , onde a região é o retângulo . Isso faz parte do estudo de integrais duplas no cálculo multivariável. O que a gente vai precisar aqui é saber como integrar funções de duas variáveis dentro de um retângulo, passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . Isso significa que varia de 0 a 1 e varia de 1 a 2. Nossa integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a . Para isso, fazemos uma substituição para simplificar a integral. Seja . Derivando ambos os lados em relação a , temos , então .
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar :
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar isso em relação a :
Para integrar , fazemos uma substituição , então .