Exercício 4. Encontre a solução dos PVIs abaixo utilizando a transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede resolver o PVI
com condição inicial em
, ou seja
, usando transformada de Laplace. Vamos precisar reformular o problema para ter a condição inicial em
por meio de uma mudança de variável.
Passo 2
Definimos uma nova variável
, de modo que quando
temos
. Em seguida, definimos
. Com isso, a condição inicial fica
.
Passo 3
Como
, a equação original
passa a ser em função de
:
Passo 4
Agora aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
e
:
Passo 5
Substituindo
e agrupando termos, temos:
Passo 6
Logo,
Passo 7
Reconhecendo pela tabela de transformadas que a transformada inversa de
é
, obtemos:
Passo 8
Por fim, voltamos à variável original:
. Assim,