Exercício 4. Encontre a solução dos PVIs abaixo utilizando a transformada de Laplace.
y^prime-6 y=0, y(-1)=4

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI y'(t)-6y(t)=0 com condição inicial em t=-1, ou seja y(-1)=4, usando transformada de Laplace. Vamos precisar reformular o problema para ter a condição inicial em t=0 por meio de uma mudança de variável.

Passo 2

Definimos uma nova variável tau = t + 1, de modo que quando t=-1 temos tau=0. Em seguida, definimos z(tau) = y(t) = y(tau - 1). Com isso, a condição inicial fica z(0)=y(-1)=4.

Passo 3

Como dz/dtau = y'(t), a equação original y'(t)-6y(t)=0 passa a ser em função de z(tau):
dzdtau - 6z(tau) = 0

Passo 4

Agora aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que Lz'(tau) = sZ(s) - z(0) e Lz(tau) = Z(s):
l(sZ(s) - z(0)r) - 6Z(s) = 0

Passo 5

Substituindo z(0)=4 e agrupando termos, temos:
Z(s),l(s-6r) - 4 = 0

Passo 6

Logo,
Z(s) = 4s-6

Passo 7

Reconhecendo pela tabela de transformadas que a transformada inversa de 1/(s-6) é e^6tau, obtemos:
z(tau) = 4e^6tau

Passo 8

Por fim, voltamos à variável original: tau = t+1. Assim,
y(t) = z(t+1) = 4e^6(t+1)

Resposta

y(t)=4e^6(t+1)

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