Exercício 3.1. Calcule a derivada direcional de f(x, y)=x^2 y+y^3 no ponto (1,2), na direção do vetor v=(3,4), usando a definição de derivada direcional, bem como usando que essa função é diferenciável. (Resposta: 64/5)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^2y+y^3 no ponto (1,2) na direção do vetor vec v=(3,4). Vamos calcular de duas formas:
  • Usando a definição via limite.
  • Usando que a função é diferenciável e, portanto, podemos usar o gradiente.

Passo 2

Para a definição, precisamos do vetor unitário na direção de vec v. Calculamos
|vec v| = raiz3^2+4^2 = 5,
logo
vec u = vec v|vec v| = l(35,,45r)

Passo 3

Pela definição de derivada direcional:
Dvec uf(1,2) = limhto0 fl((1,2)+h,vec ur)-f(1,2)h
O ponto (1,2)+hvec u é l(1+tfrac3h5,,2+tfrac4h5r). Então
fl(1+tfrac3h5,,2+tfrac4h5r) =l(1+tfrac3h5r)^2!l(2+tfrac4h5r) +l(2+tfrac4h5r)^3
Fazendo a expansão em potências de h e subtraindo f(1,2)=1^2cdot2+2^3=10, obtemos
f((1,2)+hvec u)-10h = 64h/5 + (termos em h^2,h^3)h = 645 + (coisas que tendem a 0)
Tomando o limite hto0
Dvec uf(1,2)=645

Passo 4

Como f é diferenciável, a derivada direcional também é
Dvec uf(1,2) = nabla f(1,2)cdot vec u
Calculamos as parciais
fx(x,y)=2xy, fy(x,y)=x^2+3y^2,
logo em (1,2)
nabla f(1,2)=(,2cdot1cdot2,;1^2+3cdot2^2,)=(4,13)
Fazendo o produto escalar com vec u=(3/5,4/5):
4cdot35+13cdot45 =12+525 =645

Resposta

645

Exercícios relacionados