Exercício 3.1. Calcule a derivada direcional de
no ponto
, na direção do vetor
, usando a definição de derivada direcional, bem como usando que essa função é diferenciável. (Resposta: 64/5)
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
. Vamos calcular de duas formas:
- Usando a definição via limite.
- Usando que a função é diferenciável e, portanto, podemos usar o gradiente.
Passo 2
Para a definição, precisamos do vetor unitário na direção de
. Calculamos
logo
Passo 3
Pela definição de derivada direcional:
O ponto
é
. Então
Fazendo a expansão em potências de
e subtraindo
, obtemos
Tomando o limite
dá
Passo 4
Como
é diferenciável, a derivada direcional também é
Calculamos as parciais
logo em
Fazendo o produto escalar com
: