Para as funções abaixo, determine:
o conjunto imagem;
1°) f(x)=x^2-4 x+3
2°) y=-x^2+6 x
3°) y=x^2-2 x+5
4°) y=-x^2+2 x-1

Passo 1

O enunciado pede o conjunto imagem de quatro funções quadráticas. O conteúdo é encontrar o mínimo ou máximo de uma parábola por meio da forma canônica (completando o quadrado). Precisamos relembrar como completar o quadrado e extrair o valor do vértice para determinar o intervalo de valores possíveis em y.

Passo 2

Para uma função quadrática genérica y=ax^2+bx+c, completamos o quadrado assim:
ax^2+bx+c = al(x^2 + baxr)+c = al(x^2 + bax + l(b2ar)^2r) + c - al(b2ar)^2 = al(x+b2ar)^2 + l(c - b^24ar)
O vértice fica em xv = -tfracb2a e yv=c - tfracb^24a. Se a>0, a parábola tem mínimo igual a yv e a imagem é [yv,infty). Se a<0, tem máximo yv e imagem (-infty,yv].

Passo 3

Para f(x)=x^2-4x+3 temos a=1, b=-4, c=3. Completando o quadrado:
x^2-4x+3 = (x^2 -4x+4) + 3 -4 = (x-2)^2 -1
Como a=1>0, o vértice (2,-1) dá valor mínimo yv=-1 e a imagem é [-1,infty).

Passo 4

Para y=-x^2+6x temos a=-1, b=6, c=0. Completando o quadrado:
-x^2+6x = -l(x^2 -6xr) = -l(x^2 -6x+9r) +9 = -(x-3)^2 +9
Aqui a=-1<0, o vértice (3,9) é máximo yv=9 e a imagem é (-infty,9].

Passo 5

Para y=x^2-2x+5 temos a=1, b=-2, c=5. Completando o quadrado:
x^2-2x+5 = (x^2 -2x+1) +5 -1 = (x-1)^2 +4
Com a=1>0, o vértice (1,4) é mínimo yv=4 e a imagem é [4,infty).

Passo 6

Para y=-x^2+2x-1 temos a=-1, b=2, c=-1. Completando o quadrado:
-x^2+2x-1 = -l(x^2-2xr)-1 = -l(x^2-2x+1r) +1 -1 = -(x-1)^2
Com a=-1<0, o vértice (1,0) é máximo yv=0 e a imagem é (-infty,0].

Resposta

1^circ [-1,infty)\n 2^circ (- fty,9]\n 3^circ [4,infty)\n 4^circ (- fty,0]

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