Nos exercícios 42 a 47, determinar as derivadas parciais indicadas
f(x, y)=1raizx^2+4 y^2, partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial x partial y.

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache duas derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=1raizx^2+4y^2
mais precisamente partial^2fpartial x^2 e partial^2fpartial xpartial y.
O método envolve regra da cadeia (para compor (x^2+4y^2)^-1/2) e regra do produto (quando derivamos expressões do tipo -x,(x^2+4y^2)^-3/2).

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada parcial de primeira ordem em x. Definimos
u(x,y)=x^2+4y^2,
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f(x,y)=u^-1/2
Pela regra da cadeia,
partial fpartial x =ddul(u^-1/2r)cdotpartial upartial x =-tfrac12,u^-3/2cdot(2x) =-x,(x^2+4y^2)^-3/2

Passo 3

Agora derivamos partial fpartial x=-x,(x^2+4y^2)^-3/2 novamente em relação a x. Usamos produto e cadeia:
partial^2fpartial x^2 =partialpartial xl[-x,(x^2+4y^2)^-3/2r] =-(x^2+4y^2)^-3/2 +(-x)cdotl(-tfrac32r)(x^2+4y^2)^-5/2cdot2x
Simplificando o segundo termo:
(-x)cdotl(-tfrac32r)cdot2x =3x^2,
então
partial^2fpartial x^2 =- (x^2+4y^2)^-3/2 +3x^2(x^2+4y^2)^-5/2 =l(- (x^2+4y^2)+3x^2r)(x^2+4y^2)^-5/2
=l(2x^2-4y^2r)(x^2+4y^2)^-5/2

Passo 4

Por fim, a derivada mista partial^2fpartial xpartial y obtém-se derivando partial f/partial x em relação a y. Partimos de
partial fpartial x=-x,(x^2+4y^2)^-3/2 e aplicamos produto + cadeia:
partial^2fpartial xpartial y =-xcdotl(-tfrac32r)(x^2+4y^2)^-5/2cdot8y =12,x,y,(x^2+4y^2)^-5/2

Resposta

partial^2fpartial x^2 =l(2x^2-4y^2r)(x^2+4y^2)^-5/2,
partial^2fpartial xpartial y =12,x,y,(x^2+4y^2)^-5/2

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