Exercício 1. Calcule a derivada f^prime(x) :
f(x)=ln (sec x)

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a derivada de f(x)=ln(sec x). Para isso vamos usar duas ideias principais: a regra da cadeia aplicada à função logarítmica e a derivada de sec x.

Passo 2

Definimos a função interna u(x)=sec x, de modo que f(x)=lnl(u(x)r). Pela derivada de ln(u) e pela regra da cadeia, temos
f'(x)=u'(x)u(x)

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Sabemos que a derivada de sec x é
ddxl(sec xr)=sec xtan x
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u'(x)=sec xtan x

Passo 4

Substituindo u(x)=sec x e u'(x)=sec xtan x em f'(x)=u'(x)/u(x), obtemos
f'(x)=sec xtan xsec x=tan x

Resposta

tan x

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