Exercício 3. Calcule a derivada:
f(x)=\frac{\operatorname{sec} x}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\operatorname{sec} x}{\sqrt{x}}.
O conteúdo aqui envolve regras de derivação: derivada de \operatorname{sec} x, regra do produto (após reescrever) e regra da potência para x^{n}.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\operatorname{sec} x\cdot x^{-\tfrac12}
para usar diretamente a regra do produto, que diz
(fg)' = f'\,g + f\,g'.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
– Derivada de \operatorname{sec} x:
\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)' = \operatorname{sec} x\tan x.
– Derivada de x^{-\tfrac12} (regra da potência):
\bigl(x^{-\tfrac12}\bigr)' = -\tfrac12\,x^{-\tfrac32}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = (\operatorname{sec} x)' \,x^{-\tfrac12} + \operatorname{sec} x\,\bigl(x^{-\tfrac12}\bigr)' = \operatorname{sec} x\tan x\;x^{-\tfrac12} +\operatorname{sec} x\;\bigl(-\tfrac12\,x^{-\tfrac32}\bigr).

Passo 5

Fatorando \operatorname{sec} x e x^{-\tfrac32}:
f'(x) = \operatorname{sec} x\,x^{-\tfrac32}\Bigl(x\tan x - \tfrac12\Bigr).
Também podemos escrever com denominador único:
f'(x) =\frac{\operatorname{sec} x\,(2x\tan x -1)}{2\,x^{\tfrac32}}.

Resposta

f'(x) =\frac{\operatorname{sec} x\,(2x\tan x -1)}{2\,x^{\tfrac32}}.

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